TPCP

TPCP#

TPCP (Trace Preserving Completely Positive) 映射描述了量子系统最一般的演化。它要求映射保持量子态的物理有效性(完全正定性)和概率归一化(迹保持性)。这个框架既可以描述理想的幺正演化，也可以描述与环境相互作用导致的不可逆过程，因此成为了描述量子噪声的标准数学工具。

量子通道#

任何的可物理实现的量子过程，都可以称为量子通道。实际上，"TPCP"是一种数学上的描述，而量子通道则是物理上的称呼。

Karus 表示#

迹保持确保了概率守恒，即输出态的迹等于输入态的迹；而完全正定性保证了当这个演化作用在更大系统的一部分上时，整个系统的态仍然是物理允许的（保持正定性）。

现在，对于任何线性映射，我们都可以用算符和基展开。考虑到量子态的特殊性质（厄米、正定、迹为1），这种展开必须保证输出态仍具有这些性质。

首先，通过分析完全正定性的数学要求，可以证明任何这样的映射都可以写成 \(\Phi(\rho) = \sum_k A_k\rho B_k^\dagger\)1注意，这儿虽然也用 \(\Phi(\rho)\) 的形式，但其实等同于一个函数 \(f(\rho)\), 尽管它和波函数方程里的函数长得很像。 的形式。但为了保证输出态是厄米的，我们需要这些算符成对出现，最终导致Kraus形式 \(\sum_k E_k\rho E_k^\dagger\)。

接着考虑迹保持条件。对任意输入态\(\rho\)，输出态的迹必须等于1。这要求 \(\text{tr}[\sum_k E_k\rho E_k^\dagger] = \text{tr}[\rho]\) 对所有 \(\rho\) 成立。利用迹的循环性质，这等价于 \(\sum_k E_k^\dagger E_k = I\)。这个结果是一个完备性要求，这个完备性关系不仅保证了迹保持，还确保了输出态的正定性。

反过来，任何具有Kraus形式的映射自动满足完全正定性，因为它可以看作正定算符的和，而且在与任意维度的辅助系统张量积后仍保持这种形式。完备性关系则保证了迹保持性质。因此，Kraus表示自然地满足了量子演化的所有物理要求。这种表示的优雅之处在于，它把物理要求转化为了简单的代数关系，使得量子通道的分析和构造变得直观和方便。

态的变化#

一个任意的量子系统的态，以密度矩阵的形式来表示，应当是厄密(自伴)、半正定和迹为1的2见密度矩阵的性质。

一个TPCP过程，可以保持这些特性:

自伴#

\[ (\rho')^\dagger = \left( \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger \right)^\dagger = \sum_{k} \left( E_k \rho E_k^\dagger \right)^\dagger = \sum_{k} \left( E_k^\dagger \right)^\dagger \rho^\dagger E_k^\dagger = \sum_{k} E_k \rho^\dagger E_k^\dagger \]

由于初始密度矩阵 \(\rho\) 是自伴的，即 \(\rho^\dagger = \rho\)，所以：

\[ (\rho')^\dagger = \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger = \rho' \]

因此，\(\rho'\) 是自伴的。

正半定#

\[ \langle \psi | \rho' | \psi \rangle = \left\langle \psi \left| \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger \right| \psi \right\rangle = \sum_{k} \langle \psi | E_k \rho E_k^\dagger | \psi \rangle = \sum_{k} \langle E_k^\dagger \psi | \rho | E_k^\dagger \psi \rangle \]

由于 \(\rho\) 是正半定的，即 \(\langle \phi | \rho | \phi \rangle \geq 0\) 对于任意向量 \(|\phi\rangle\) 成立，因此：

\[ \langle \psi | \rho' | \psi \rangle = \sum_{k} \langle E_k^\dagger \psi | \rho | E_k^\dagger \psi \rangle \geq 0 \]

因此，\(\rho'\) 是正半定的。

迹为1#

\[ \mathrm{Tr}(\rho') = \mathrm{Tr}\left( \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger \right) = \sum_{k} \mathrm{Tr}(E_k \rho E_k^\dagger) \]

利用迹的循环性质 \(\mathrm{Tr}(ABC) = \mathrm{Tr}(BCA)\)：

\[ \mathrm{Tr}(E_k \rho E_k^\dagger) = \mathrm{Tr}(\rho E_k^\dagger E_k) \]

因此：

\[ \mathrm{Tr}(\rho') = \sum_{k} \mathrm{Tr}(\rho E_k^\dagger E_k) = \mathrm{Tr}\left( \rho \sum_{k} E_k^\dagger E_k \right) \]

由于 \(\sum_{k} E_k^\dagger E_k = I\)：

\[ \mathrm{Tr}(\rho') = \mathrm{Tr}(\rho I) = \mathrm{Tr}(\rho) = 1 \]

示例: 单量子比特#

tpcp_single_qubit

图 6.3 单量子比特的TPCP过程#

小技巧

一个有趣的事实是，如上图所示，一个单量子比特的态，通过(一系列的) TPCP 操作，其 Bloch 矢量的长度将会 ≤ 1.

单量子比特密度矩阵的布洛赫球表示#

对于单量子比特，密度矩阵可以表示为：

\[ \rho = \frac{1}{2} (I + \vec{r} \cdot \vec{\sigma}) \]

其中：

  • \(I\) 是 \(2 \times 2\) 单位矩阵

  • \(\vec{r} = (r_x, r_y, r_z)\) 是实数向量

  • \(\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)\) 为泡利矩阵：

\[\begin{split} \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{split}\]

计算密度矩阵的特征值#

要证明 \(|\vec{r}| \leq 1\)，我们需要利用密度矩阵的特征值。

首先断言，密度矩阵 \(\rho\) 的特征值为：

\(\lambda_\pm = \frac{1}{2} \left( 1 \pm |\vec{r}| \right)\)

证明：

为了证明这一点，我们可以选择一个适当的基，使得密度矩阵对角化。因为密度矩阵是自伴的，可以对角化。

假设通过适当的全局旋转，使得 \(\vec{r}\) 沿着 \(z\) 轴方向，即令 \(r_x = r_y = 0\)，则密度矩阵简化为：

\[\begin{split} \rho = \frac{1}{2} (I + r_z \sigma_z) = \begin{pmatrix} \frac{1 + r_z}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - r_z}{2} \end{pmatrix} \end{split}\]

步骤3：利用正半定性证明 \(|\vec{r}| \leq 1\) 由于密度矩阵是正半定的，其特征值必须非负，即：

\[ \lambda_\pm = \frac{1 \pm |\vec{r}|}{2} \geq 0 \]

于是:

\[ \frac{1 - |\vec{r}|}{2} \geq 0 \Rightarrow |\vec{r}| \leq 1 \]