概率性错误抵消（PEC）

　一点穿连浩动两仪内反复阴阳

概率性错误抵消（Probabilistic Error Cancellation，PEC）是一种利用已知噪声模型来抵消量子噪声影响的错误缓解方法。PEC 方法依赖以下噪声假设（参考噪声的基本假设）：

这些假设使我们可以建立一个可处理的噪声模型，用于分析和抵消噪声对量子计算的影响。

备注

在 PEC 方法中，我们的目标是将理想的量子算符 \(\mathcal{U}\) 分解为已知的含噪算符 \(\{\tilde{\mathcal{U}}_i\}\) 的线性组合。具体地，我们希望找到一组权重 \(w_i\)，使得：

\[ \mathcal{U}^{\#} = \sum_i w_i \tilde{\mathcal{U}}_i^{\#} \]

其中，\(\tilde{\mathcal{U}}_i^{\#}\) 是在含噪量子设备上可以实现的算符 (这里是PTM(超算符) 形式)。

由于噪声模型已知，我们可以表征含噪算符 \(\tilde{\mathcal{U}}_i^{\#}\)，并计算对应的权重 \(w_i\)。

注意

...至于如何得到含噪算符的具体形式，参见门集层析技术

为了更全面地抵消量子噪声，需要考虑以下几种类型的噪声：

通过对这些噪声类型的表征，可以构建更加准确的噪声模型，为错误抵消提供基础。

由于权重 \(w_i\) 可能为负值或大于 1，直接实现对应的量子操作在物理上不可行。为了解决这一问题，PEC 采用了基于准概率分布（Quasi-probability Distribution） 的蒙特卡洛采样方法。

具体步骤如下：

构建准概率分布：将权重 \(w_i\) 转换为准概率分布 \(p_i\)，使得：

\[ w_i = \eta q_i = \eta \mathrm{sgn}(w_i) p_i \]

其中，\(\eta\) 是归一化因子，定义为所有权重绝对值之和：

\[ \eta = \sum_i |w_i| \]

准概率分布 \(p_i\) 满足：

\[ \sum_i p_i = 1 \]

由于 \(w_i\) 可能为负值，因此 \(q_i\) 可以为负值，即准概率分布允许负概率。
基于准概率的采样：由于不能直接根据负概率进行采样，我们通过引入辅助概率分布 \(p_i\)，满足归一化条件。
蒙特卡洛采样：根据概率分布 \(p_i\)，随机采样含噪算符序列 \(\{\tilde{\mathcal{B}}_i\}\)。
执行含噪量子电路：在量子设备上执行采样得到的含噪算符序列，对每个序列进行独立实验。
结果加权与求平均：对于每次实验的测量结果的期望值 \(m_i\)，乘以对应的符号 \(\text{sgn}(w_i)\)，得到加权结果 \(\tilde{m}_i\)：

\[ \tilde{m}_i = \text{sgn}(w_i) \cdot m_i \]

然后，对所有实验的加权结果求平均，得到错误抵消后的期望值：

\[ \langle M \rangle_{\text{PEC}} = \frac{1}{N} \eta\sum_{i=1}^{N} \tilde{m}_i \]

其中，\(N\) 是实验次数。

通过增加采样次数 \(N\)，可以提高结果的精度。由于归一化因子 \(\eta\) 可能较大，实现 PEC 需要的实验次数也会相应增加。同时，由于准概率分布的存在，测量结果的方差也会增大，需要更多的采样来达到所需的精度。