1. 定义

离散群通常由若干个元素以及它们之间的运算（一般就叫乘法）所定义。

一个群有以下的性质：

• 封闭性： 群元的运算必然还是群元

• 结合律： \(A(BC) = (AB)C\)

• 存在一个恒等元素： \(E\)

  \[ EA = AE = A \]

• 每一个元素必有其逆元素

• 有限群的群元个数称为它的“阶”

• 群的乘法通常是不可交换顺序的，可交换顺序的被称为阿贝尔群。

子群

• 对一个群(\(G\))自身来说，恒等运算(\(E\))和它自身(\(G\))是它的平凡子群。

• 对于一个群的子群来说(\(H\subset G\)), 子群的阶必然是该群的阶的整除数(type(g/h)==int)

类

• 对于符合以下关系的群元素A, B：

  \[\begin{split} \begin{split} A &= X^{-1}BX \\ B &= Y^{-1}AY \end{split} \end{split}\]

  其中 A, B, X, Y都是群的元素。称A与B是共轭元素。

• 一个群里的所有共轭元素被称为一个类

同构

对两个群\(G = \{A, B, C, \cdot\}\), \(G' = \{A', B', C', \cdots\}\), 有：

\[\begin{split} A \Leftrightarrow A' \\ B \Leftrightarrow B' \end{split}\]

使得:

\[ AB \Leftrightarrow A'B' \]

则称这两个群是同构的。

同态

如果同构群的\(A'\)和\(B'\)实际上是同一个群元，则称它们是同态的。

特征标

群元的矩阵表示的迹。

\[ \chi = \sum_j a_{jj} \]

• 若\(C=AB\), \(D=BA\), 则\(\chi_C=\chi_D\)

• 共轭元素的特征标相等

备注

或说同一类中的元素特征标相等