4. 波动力学基础形式

对于离散的表象，任何态都可以表示成一个列矢量，任何算符都可以表示成一个矩阵。显然，有一些表象是连续的，例如，测量一个态的坐标，可以在任意位置进行这件事。这说明坐标表象的本征值是连续的。

做如下替换:

\[ \sum_a\ket{a_i}\bra{a_i} = 1 \longrightarrow \int d\xi \ket{\xi}\bra{\xi} = 1 \]

(4.1)\[ \braket{a_i|a_j} = \delta_{ij} \longrightarrow \braket{\xi'|\xi''} = \delta(\xi'-\xi'') \]

这里简单的用英文字母和希腊字母做区分。

波函数

以坐标表象为例，任何一个态将变为

\[ \ket{a} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ket{x}\braket{x|a} \]

由于\(x\)可以取遍\((-\infty,+\infty)\), \(\braket{x|a}\)就是一个随\(x\)在定义域变换的数值，它其实就是一个函数。

\[ \braket{x|a} = \psi_a(x) \]

这就是波动力学的经典表示，薛定谔的波函数形式。

重要

注意到在离散的表象中对矩阵元\(c_i=\braket{c_i|a}\), \(c_i^2\)其实表现了这个态出现的概率，这里\(\psi_a(x)\)也是如此。

对于内积而言，易得：

\[\begin{split} \begin{split} \braket{b|a} &= \int dx \braket{b|x}\braket{x|a} \\ &= \int dx\ \psi_b^*(x)\psi_a(x) \end{split} \end{split}\]

对于算符而言，一般能得到:

\[\begin{split} \begin{split} \braket{b|U|a} &= \int dx' \int d x'' \braket{b|x'}\braket{x'|U|x''}\braket{x''|a} \\ &= \int dx' \int d x''\ \psi_b^*(x')U(x', x'')\psi_a(x'') \end{split} \end{split}\]

不过当U能表示成\(x\)的函数时，考虑到公式(4.1), 一个自由度会被消去。例如某二维势能 ^{1 1}请把\(x\)当成一个算符，有\(x\ket{x'}=x'\ket{x'}\), 这里用\(x'\)做波函数的标记。之前可能直接用\(\ket{x}\)做标记。总之，应该不至于混乱。\(H = kx^2\), 就有:

\[\begin{split} \begin{split} \braket{x'|kx^2|x''} &= kx''^2\braket{x'|x''} \\ &= kx''^2\delta(x'-x'') \\ &= kx'^2 \\ &= H(x') \end{split} \end{split}\]

备注

一个有趣的例子是波函数形式下的薛定谔方程，它相当有名

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r}, t) = H(\vec{r}, t) \Psi(\vec{r}, t) \]

这种形式符合对干涉等现象的描述，实际上早于态矢量概念的提出。也被称为波动力学。总而言之，态矢量是各表示的原始代数形式，当然也是一种表示，尽管它没有直接可供运算的形式，但在代数上构建了一种统一。在实际问题中，为了得到和实验符合的结果，要用矩阵力学或波动力学来具体计算。对于一个群来说，有很多种等价的表示，对态矢量(以及算符等)来说，这两种表示是唯一的吗，显然不是的。路径积分可以被当作是一种完全不同的表示。另外，注意表示(representation)和表象(picture)的差别，在中文里他们容易被弄错。

正则对易关系

显然，对于任何一个运动物体的动量，\(p\), 它也是连续谱的。动量和坐标的重要关系几乎覆盖了整个经典力学，所有的力学性质都可以从这两个量中得出。

注意到，经典力学中的泊松括号

\[ [x, p]_p = 1 \]

其中

\[ [A(p,x),B(p,x)]_p = \frac{\partial A}{\partial x} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial x} \]

为简单并不写成广义坐标和广义动量的形式了。

只需要将其换为量子的对易关系并除以\(i\hbar\)

\[ [\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \]

就能完成所有的量子力学算符(然后可以从中得到本征态)。

有很多做法可以用“半猜半推导”的方式给出一个结果。例如设定一个算符使\(\ket{x}\rightarrow\ket{x+dx}\)再从中导出\(p\)，这种考虑是因为动量能使坐标发生变化。但是这里的导出并不严格，因为如果把动量当成基础量，中间就要直接将一个推导过程中产生的算符“定义为”动量。尽管它确实和经典动量有一些一致性。

这里，不妨认为就是我们对宏观的观测不够精确，动量和坐标存在不对易关系。但是由一个很小的量\(\hbar\)掌控，因此忽视时我们能得到经典力学。如今，我们直接发现了这个对易关系。可以认为这是基本的假设的一种变体。也可以说量子力学的代数结构就是从这里和经典力学有所不同的。

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