3.7. 自旋张量算符

自旋张量算符\(\hat{T}^{S,M}\)是一族2S+1个算符，因为M可以从-S一直取到S.

自旋张量算符的定义为

\[ [\hat{S}_\pm, \hat{T}^{S,M}] = \sqrt{S(S+1)-M(M\pm 1)}\hat{T}^{S,M\pm 1} \]

\[ [\hat{S}_z, \hat{T}^{S,M}] = M\hat{T}^{S,M} \]

两式后半部分的S和M都是常数。

这样定义的\(\hat{T}^{S,M}\)有:

\[ \hat{S}_\pm\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} = \sqrt{S(S+1)-M(M\pm 1)}\hat{T}^{S,M\pm 1}\ket{\mathrm{vac}} \]

\[ \hat{S}_z\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} = M\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} \]

通过把\(\hat{S}^2\)表达成\(\hat{S}_\pm\)和\(\hat{S}_z\)，可求得：

\[ \hat{S}^2\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} = S(S+1)\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} \]

因此它在不湮灭真空态的情况下能构造出给定自旋和分量的态。

当知道了一个\(\hat{T}^{S,M}\)之后，可求得另一个\(\hat{U}^{S,M}=(-1)^{S+M}\left(\hat{T}^{S,-M}\right)^\dagger\). 这里M是为了保证在\(\pm1\)时仍然保持一致，S是保证在半整数时加起来还是一个整数。也就是说，对给定的S和M，\(\hat{T}^{S,M}\)仍然不是唯一的。

备注

因为\(\hat{T}^{S,M}\)是通过一个对易关系定义的，我们所希望的是\(\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}}\)能给出一个自旋和自旋分量都合适的态，但是实际上通过对易关系定义来的比较宽松。

比如对于单电子体系的\(\hat{T}^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=a_\alpha^\dagger\), 也有另一个\(\hat{T}^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=-a_\beta\). 它们都满足对易关系，可以验证。

显然，后一个算符\(-a_\beta\)会湮灭真空态。