8. 电子自旋

单个电子的自旋态

电子自旋，是电子的一种内禀的量子性质。电子的自旋态，通常作为一个额外的态矢量乘在空间函数的末尾。如\(\ket{\psi}\ket{s}\)这里\(\ket{\psi}\)是一个空间上的态函数，而\(\ket{s}\)则是自旋性质的态函数。它们彼此独立，所以可以直接相乘，构成一个更大的态空间里的矢量。

对于一个电子的自旋态\(\ket{s}\)，可以用一个二分量的基\(\ket{\uparrow}\)和\(\ket{\downarrow}\)来描述，称为“自旋向上”或“自旋向下”。电子的自旋态空间，仅仅使用这两个基矢量加上复系数就可以完整定义。可以使用Bloch球的概念来理解单电子的状态。

尽管在Bloch球中，对态的操作很方便，但真实的物理世界中，自旋并不能视为在一个Bloch球中的矢量。 经典物理里，自旋是一种角动量，角动量是真实物理空间中叉乘出来的一个矢量(\(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\))，通过这种经典-量子对应，现在自旋成了Bloch球中的一组分立的矢量，而量子的角动量沿某一个方向的值\(S_z\)，在经典物理中是一个确定值。也就是说，经典的自旋只要确定了这角动量的矢量，一切都确定了。而量子世界的电子自旋，除了要确定角动量的矢量(\(\mathbf{S}\))外，还要确定其在某一方向上的分量(\(S_z\))，才能唯一的确定一个态。而且，实际的应用中我们最终选用的是角动量矢量的平方(或称为自旋的平方\(S^2\))，因为角动量矢量有以下两条性质:

1. 不能够直接测量。在Bloch球里定义的\(\vec{\sigma} = \mathbf{i}\sigma_x + \mathbf{j}\sigma_y + \mathbf{k}\sigma_z\)需要同时测量三个不对易方向的分量。

2. \(S^2\)能和\(S_z\)或其它方向对易，因此能有公共的一组波函数，能唯一确定系统的态。

经典的角动量有它的叠加关系，是两个矢量的相加。但是量子的自旋则成了两个算符的相加。硬要说的话，是两个布洛赫球的耦合。

如下表：

	经典角动量	量子角动量
角动量的平方	J矢量的平方	平方算符的期望值
角动量	J矢量	Bloch球的多个矢量
角动量沿某一方向的分量	Jz	球上的某一个矢量

提示

如果想要将角动量加和，经典的角动量直接把三个分量加起来就行了，而量子的角动量是一个球上的多个分立值，无法相加。所以，只需要理解为这是一种经典-量子的对应关系，而对于它的运算结果，要放弃用某种经典图像来刻画。因此，再次重申，只需记住自旋的算符的来源，是量子-经典对应。而结果就站在态空间和算符的操作中去计算即可，不要试图扩大Bloch球的定义，它只能代表一个电子或比特位的态。也不要用经典的角动量矢量去试图理解它。一切经典的东西已经成为量子态的指标(通常被称为量子数)，只有这些态和算符告诉我们会算出什么。

从某种意义上来说，我们对量子的诠释一直是不够的。我们有的仅仅是计算量子力学。

角动量的平方算符

在Bloch球中我们已经对Pauli算符等多个算符有了定义，自旋算符与它们几乎没有差别，只是为了满足实验上在磁场中测量出的结果，加上了一些常数。有：

\[ S_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z \]

\[ \mathbf{S} = \frac{\hbar}{2}\mathbf{\sigma} \]

以及额外定义的：

\[ S^2 = \mathbf{S}^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 \]

对单电子来说：

\[ S_z\ket{0} = \frac{\hbar}{2}\ket{0} \]

\[ S^2\ket{0} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\hbar\ket{0}=\frac{3}{4}\hbar^2\ket{0} \]

在这里，读者可能会觉得\(S^2\)的定义有些草率，其实并非如此。这个定义也是遵循经典-量子对应中对角动量平方的定义，替换了坐标和动量算符来的。反而，其实令人惊奇的点是，单电子的角动量算符\(\vec{S}\)会给出半径为\(\hbar/2\)的一个Bloch球，这是非常奇妙的。

提示

这一节和Bloch球一节有着非常紧密的联系.