通过门集层析（GST）获取基础门集#
小技巧
为了准确地表征基础量子门及其噪声特性，我们使用门集层析（Gate Set Tomography，GST） 技术。GST 是一种对量子门集进行完整表征的方法，可以提供关于量子门的实际实现形式和噪声特性的详细信息。
在 GST 中，我们的目标是测量一组作用在 \(n\) 个量子比特上的操作 \(\{ \bar{\mathcal{O}}^{\#}_1, \ldots, \bar{\mathcal{O}}^{\#}_N \}\)。为此，我们需要选择：
一组 \(4^n\) 个线性独立的初始态 \(\{ \ket{\bar{\rho}_k\rangle} \}\)。
一组 \(4^n\) 个线性独立的可观测量 \(\{ \bra{\langle\bar{Q}_j} \}\)。
给定这些初始态和可观测量，我们测量期望值：
其中，\(\bar{\mathcal{O}}\) 是待表征的操作之一。
在理想情况下，我们希望直接测量操作 \(\bar{\mathcal{O}}\) 的过程矩阵。然而，由于初态制备和测量过程中的误差，我们实际获得的矩阵 \(\tilde{\mathcal{O}}\) 与真实的PTM矩阵 \(\bar{\mathcal{O}^{\#}}\) 之间存在如下关系：
其中：
\(\bar{M}^{\mathrm{in}}\) 和 \(\bar{M}^{\mathrm{out}}\) 是包含初态制备和测量误差的矩阵，定义为：
\[ \bar{M}^{\mathrm{in}}_{\sigma, k} = \braket{\langle \sigma | \bar{\rho}_k \rangle}， \quad \bar{M}^{\mathrm{out}}_{j, \sigma} = \braket{\langle \bar{Q}_j | \sigma \rangle} \]\(\ket{\sigma\rangle}\) 表示泡利算符基矢量自身的PTM形式. 当然也可以使用多项式展开式(7.1), 在实际计算时可以根据情况选择。
然而，我们无法直接测量 \(\bar{M}^{\mathrm{in}}\) 和 \(\bar{M}^{\mathrm{out}}\)，因此无法直接从 \(\tilde{\mathcal{O}}\) 还原出 \(\bar{\mathcal{O}}^{\#}\)。
为了解决上述问题，我们采取以下步骤：
测量参考矩阵 \(g\)：
当 \(\bar{\mathcal{O}}\) 取为恒等操作（即 \(\bar{\mathcal{O}} = I\)）时，有：
\[ g = \bar{M}^{\mathrm{out}} \bar{M}^{\mathrm{in}} \]我们可以通过实验测量 \(g\)。
估计待测操作 \(\bar{\mathcal{O}}\)：
我们引入一个任意可逆矩阵 \(T\)，构造操作的估计值：
\[ \hat{\mathcal{O}} = T g^{-1} \tilde{\mathcal{O}} T^{-1} \]展开后，可得：
\[ \hat{\mathcal{O}} = T \bar{M}^{\mathrm{in}\ -1} \bar{\mathcal{O}} \bar{M}^{\mathrm{in}} T^{-1} \]由于 \(T\) 是任意可逆矩阵，我们可以选择合适的 \(T\) 来方便计算。
相似性关系：
\(\hat{\mathcal{O}}\) 与真实操作 \(\bar{\mathcal{O}}\) 之间存在相似变换：
\[ \hat{\mathcal{O}} \sim \bar{\mathcal{O}}^{\#}。 \]这意味着虽然 \(\hat{\mathcal{O}}\) 和 \(\bar{\mathcal{O}}^{\#}\) 可能不同，但它们的谱性质相同，且表现出相似的物理特性。
初始态和可观测量的估计：
通过 \(T\) 和 \(g\)，我们还可以估计初始态和可观测量：
\[ \ket{\hat{\rho}_k\rangle} = T_{\bullet,k} = T \bar{M}^{\mathrm{in}\ -1} \ket{\bar{\rho}_k\rangle} \]\[ \bra{\langle \hat{Q}_j} = (g T^{-1})_{j,\bullet} = \bra{\langle \bar{Q}_j} \bar{M}^{\mathrm{in}} T^{-1} \]其中，\(T_{\bullet,k}\) 表示矩阵 \(T\) 的第 \(k\) 列，\((g T^{-1})_{j,\bullet}\) 表示矩阵 \(g T^{-1}\) 的第 \(j\) 行。
在实际的操作中，我们可以假设制备态的误差很小, 即矩阵\(\bar{M}^{\mathrm{in}}\)是其理想值，然后令:
这样: