# TPCP

TPCP (Trace Preserving Completely Positive) 映射描述了量子系统最一般的演化。它要求映射保持量子态的物理有效性(完全正定性)和概率归一化(迹保持性)。这个框架既可以描述理想的幺正演化，也可以描述与环境相互作用导致的不可逆过程，因此成为了描述量子噪声的标准数学工具。

## 量子通道

任何的可物理实现的量子过程，都可以称为量子通道。实际上，"TPCP"是一种数学上的描述，而量子通道则是物理上的称呼。

### Karus 表示

迹保持确保了概率守恒，即输出态的迹等于输入态的迹；而完全正定性保证了当这个演化作用在更大系统的一部分上时，整个系统的态仍然是物理允许的（保持正定性）。

现在，对于任何线性映射，我们都可以用算符和基展开。考虑到量子态的特殊性质（厄米、正定、迹为1），这种展开必须保证输出态仍具有这些性质。

首先，通过分析完全正定性的数学要求，可以证明任何这样的映射都可以写成 $\Phi(\rho) = \sum_k A_k\rho B_k^\dagger$[^1] 的形式。但为了保证输出态是厄米的，我们需要这些算符成对出现，最终导致Kraus形式 $\sum_k E_k\rho E_k^\dagger$。

[^1]: 注意，这儿虽然也用 $\Phi(\rho)$ 的形式，但其实等同于一个函数 $f(\rho)$, 尽管它和波函数方程里的函数长得很像。

接着考虑迹保持条件。对任意输入态$\rho$，输出态的迹必须等于1。这要求 $\text{tr}[\sum_k E_k\rho E_k^\dagger] = \text{tr}[\rho]$ 对所有 $\rho$ 成立。利用迹的循环性质，这等价于 $\sum_k E_k^\dagger E_k = I$。这个结果是一个完备性要求，这个完备性关系不仅保证了迹保持，还确保了输出态的正定性。

反过来，任何具有Kraus形式的映射自动满足完全正定性，因为它可以看作正定算符的和，而且在与任意维度的辅助系统张量积后仍保持这种形式。完备性关系则保证了迹保持性质。因此，Kraus表示自然地满足了量子演化的所有物理要求。这种表示的优雅之处在于，它把物理要求转化为了简单的代数关系，使得量子通道的分析和构造变得直观和方便。

## 态的变化

一个任意的量子系统的态，以密度矩阵的形式来表示，应当是厄密(自伴)、半正定和迹为1的[^2]。

[^2]: 见[密度矩阵的性质](../../量子力学/dm.md#2-密度矩阵的性质)

一个TPCP过程，可以保持这些特性:

### 自伴

$$
(\rho')^\dagger = \left( \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger \right)^\dagger = \sum_{k} \left( E_k \rho E_k^\dagger \right)^\dagger = \sum_{k} \left( E_k^\dagger \right)^\dagger \rho^\dagger E_k^\dagger = \sum_{k} E_k \rho^\dagger E_k^\dagger
$$

由于初始密度矩阵 $\rho$ 是自伴的，即 $\rho^\dagger = \rho$，所以：

$$
(\rho')^\dagger = \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger = \rho'
$$

因此，$\rho'$ 是自伴的。

###  正半定

$$
\langle \psi | \rho' | \psi \rangle = \left\langle \psi \left| \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger \right| \psi \right\rangle = \sum_{k} \langle \psi | E_k \rho E_k^\dagger | \psi \rangle = \sum_{k} \langle E_k^\dagger \psi | \rho | E_k^\dagger \psi \rangle
$$

由于 $\rho$ 是正半定的，即 $\langle \phi | \rho | \phi \rangle \geq 0$ 对于任意向量 $|\phi\rangle$ 成立，因此：

$$
\langle \psi | \rho' | \psi \rangle = \sum_{k} \langle E_k^\dagger \psi | \rho | E_k^\dagger \psi \rangle \geq 0
$$

因此，$\rho'$ 是正半定的。

### 迹为1

$$
\mathrm{Tr}(\rho') = \mathrm{Tr}\left( \sum_{k} E_k \rho E_k^\dagger \right) = \sum_{k} \mathrm{Tr}(E_k \rho E_k^\dagger)
$$

利用迹的循环性质 $\mathrm{Tr}(ABC) = \mathrm{Tr}(BCA)$：

$$
\mathrm{Tr}(E_k \rho E_k^\dagger) = \mathrm{Tr}(\rho E_k^\dagger E_k)
$$

因此：

$$
\mathrm{Tr}(\rho') = \sum_{k} \mathrm{Tr}(\rho E_k^\dagger E_k) = \mathrm{Tr}\left( \rho \sum_{k} E_k^\dagger E_k \right)
$$

由于 $\sum_{k} E_k^\dagger E_k = I$：

$$
\mathrm{Tr}(\rho') = \mathrm{Tr}(\rho I) = \mathrm{Tr}(\rho) = 1
$$

## 示例: 单量子比特

```{figure} pics/TPCP.png
---
width: 80%
figclass: margin-caption
alt: tpcp_single_qubit
name: tpcp_single_qubit
---
单量子比特的TPCP过程
```

```{tip}
一个有趣的事实是，如上图所示，一个单量子比特的态，通过(一系列的) TPCP 操作，其 Bloch 矢量的长度将会 ≤ 1.
```

### 单量子比特密度矩阵的布洛赫球表示

对于单量子比特，密度矩阵可以表示为：

$$
\rho = \frac{1}{2} (I + \vec{r} \cdot \vec{\sigma})
$$

其中：

- $I$ 是 $2 \times 2$ 单位矩阵
- $\vec{r} = (r_x, r_y, r_z)$ 是实数向量
- $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ 为泡利矩阵：

$$
\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, 
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, 
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
$$

### 计算密度矩阵的特征值

要证明 $|\vec{r}| \leq 1$，我们需要利用密度矩阵的特征值。

首先断言，密度矩阵 $\rho$ 的特征值为：

$\lambda_\pm = \frac{1}{2} \left( 1 \pm |\vec{r}| \right)$

**证明**：

为了证明这一点，我们可以选择一个适当的基，使得密度矩阵对角化。因为密度矩阵是自伴的，可以对角化。

假设通过适当的全局旋转，使得 $\vec{r}$ 沿着 $z$ 轴方向，即令 $r_x = r_y = 0$，则密度矩阵简化为：

$$
\rho = \frac{1}{2} (I + r_z \sigma_z) = \begin{pmatrix} \frac{1 + r_z}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - r_z}{2} \end{pmatrix}
$$

步骤3：利用正半定性证明 $|\vec{r}| \leq 1$
由于密度矩阵是正半定的，其特征值必须非负，即：

$$
\lambda_\pm = \frac{1 \pm |\vec{r}|}{2} \geq 0
$$

于是:

$$
\frac{1 - |\vec{r}|}{2} \geq 0 \Rightarrow |\vec{r}| \leq 1
$$