3.1. 基础定义

• 二次量子化使用creation和annihilation算符的代数运算代替了Slater行列式，减少了反对称波函数的运算。

• 对于Slater行列式的orbital，\(\phi_i\)，使用occupation-number vector \(\ket{k}=\ket{k_0k_1\cdots k_i\cdots k_n}\)代替。这里\(k_i\)指的是在\(\ket{k}\)的第i位上是0还是1，也即是\(k_i\in \{0,1\}\)，这个ON-vector所在的空间叫做Fock Space

• 正交：\(\braket{k|m} =\delta_{\ket{k},\ket{m}}=\prod\delta_{k_i,m_i}\)，

• 归一化：\(1=\sum_{\ket{k}}\ket{k}\bra{k}\)，加和所有维度的\(\ket{k}\) ==这个定义不知道有什么用==

• 记m维的Fock Space为\(F(m)\)，对\(F(m)\)中恰好有n个电子占据的子空间记作\(F(m,n)\)，有如下等式：

  \[ F(m) = F(m,0)\oplus F(m,1)\oplus\cdots\oplus F(m,m) \]

• 真空态：\(\ket{\mathrm{vac}}=\ket{000\cdots}\)，\(\braket{\mathrm{vac}|\mathrm{vac}}=1\)

• 产生算符：

  \[ a_p^\dagger\ket{k_1k_2\cdots 0_p\cdots k_m}=\Gamma_p^k\ket{k_1k_2\cdots 1_p\cdots k_m} \]
  \[ a_p^\dagger\ket{k_1k_2\cdots 1_p\cdots k_m}=0 \]
  \[ \Gamma_p^k=\prod_{q=1}^{p-1}(-1)^{k_q} \]

  \(\Gamma\)统计了p前面有多少个被占据的电子。

• 湮灭算符：

  \[ a_p\ket{k}=\delta_{k_p,1}\Gamma_p^k\ket{k_1k_2\cdots 0_p\cdots k_m} \]

  湮灭真空态会得到0

• 使用产生算符表示一个ON-vec

  \[ \ket{k} = \left[ \prod_{p=1}^m(a_p^\dagger)^{k_p} \right]\ket{\mathrm{vac}} \]