1. 希尔伯特空间#
右矢(ket)#
希尔伯特空间(Hilbert Space)是通过内积定义的空间，其空间的元素为一个态，它是一个线性空间，即空间的元素可以由一组基线性展开
\[
\ket{\alpha} = \sum_i c_i\ket{a_i}
\]
这里的展开系数是复的。这种展开也是一种矢量性质，因此我们有时称这样一个态为右矢。
左矢(bra)#
右矢有其对应，称为左矢。右矢空间相应有对应的左矢空间。
\[
\ket{a} \leftrightarrow \bra{a}
\]
值得注意的是，常数在对偶时将变为复共轭！
\[
c \leftrightarrow c^*
\]
因此有
\[
c\ket{a} \leftrightarrow c^*\bra{a}
\]
内积#
左矢和右矢的乘积为一个复数1量子力学遵循“正定度规”，即\(\braket{a|a}\ge0\). 当然也有不定度规的理论，这里就不涉及了。
\[
\braket{a|b} \in \mathbb{C}
\]
这样可以知道
\[
\braket{a|b} \leftrightarrow \braket{b|a}
\]
就有
(1.1)#\[
\braket{a|b} = \braket{b|a}^*
\]
算符#
算符从左侧作用在右矢上，它的对偶是算符的厄密共轭算符乘在左矢上。
(1.2)#\[
X\ket{a} \leftrightarrow \bra{a}X^\dagger
\]
算符乘积的厄密共轭要交换顺序2实际上厄密共轭就是对偶操作。我们把这里的对偶定义扩大了一点，原来的对偶大概是指两个矢量空间一一对应，而算符(和常数)其实可以分别从左右作用在矢量上。因此不属于哪个特定的空间，它“对偶”之后还是一个算符。总之，对偶是指一一对应的关系，而共轭是这种对应具体的数学表示。比如也可以写成\((\ket{a})^\dagger=\bra{a}\).
\[
(XY)^\dagger = Y^\dagger X^\dagger
\]