矩阵力学基础形式

　一点穿连浩动两仪内反复阴阳

3. 矩阵力学基础形式#

用矩阵表示算符的作用会相当方便，因此，较为细致的检查矩阵元，矩阵乘法和态矢量的关系是有必要的。

矩阵表示#

以下考虑均在算符\(A\)的本征基\(\ket{a_i}\)下展开右矢空间。

算符#

对一个任意算符\(X\)，插入两个单位1:

\[ X = \sum_i\sum_j \ket{a_i}\bra{a_i}X\ket{a_j}\bra{a_j} \]

规定其中\(\braket{a_i|X|a_j}\)构成一个矩阵的矩阵元(这是一个实数)。其中\(i\)是行的下标，\(j\)是列的下标。也就是说：

(3.1)#\[ X^{\mathrm{mat}}_{ij} = \braket{a_i|X^{\mathrm{sv}}|a_j} \]

其中上标为mat的代表矩阵形式下的表示，上标为sv的代表态矢(state vector)空间的表示(即为一个函数) ¹ ¹矩阵表示的矩阵元其实是原算符的积分，而态矢形式保留了函数性。矩阵形式是依赖于基的(有点像二次量子化，但没有单电子概念)。. 完整的有：

\[\begin{split} X \Longrightarrow \begin{pmatrix} \braket{a_1|X|a_1} & \braket{a_1|X|a_2} & \cdots \\ \braket{a_2|X|a_1} & \braket{a_2|X|a_2} & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots \end{pmatrix} \end{split}\]

由公式(1.2)可以知道:

\[ X^\dagger = \sum_i\sum_j \ket{a_j}\bra{a_j}X^\dagger\ket{a_i}\bra{a_i} \]

上式左边是矩阵，右边是函数。对比公式(3.1)的矩阵元, 可以注意到\(X\)的\((i,j)\)的对应的正好是\(X^\dagger\)的指标\((j,i)\)的复共轭 ² ²参见公式(1.1)

\[ X^*_{ij} = X^\dagger_{ji} \]

或者

\[ X^{T*} = X^\dagger \]

因此，在矩阵形式下，厄密共轭表现为转置复共轭.

对乘法来说:

\[\begin{split} \begin{split} Z &= XY \\ &\Downarrow \\ \braket{a_i|Z|a_j} &= \braket{a_i|XY|a_j} \\ &= \sum_k \braket{a_i|X|a_k}\braket{a_k|Y|a_j} \end{split} \end{split}\]

正好是列乘以行\(Z_{ij}=\sum_kX_{ik}Y_{kj}\)，符合矩阵的乘法。

态矢量#

可以直接看出如果用如下列向量表示一个任意态\(\ket{c}\):

(3.2)#\[\begin{split} \ket{c} \Longrightarrow \begin{pmatrix} \braket{a_1|c} \\ \braket{a_2|c} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{split}\]

这里左边是右矢表示，右边是一个复数矩阵。因此也有:

\[ \bra{c} = \ket{c}^\dagger \Longrightarrow \begin{pmatrix} \braket{a_1|c}^* & \braket{a_2|c}^* & \cdots \end{pmatrix} \]

它们满足\(\braket{c|d}\)或\(\braket{c|X|d}\)这类乘法的结果。

另外可以定义张积:

\[\begin{split} \ket{c}\bra{d} = \begin{pmatrix} \braket{a_1|c}\braket{a_1|d}^* & \braket{a_1|c}\braket{a_2|d}^* & \cdots \\ \braket{a_2|c}\braket{a_1|d}^* & \braket{a_2|c}\braket{a_2|d}^* & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots \end{pmatrix} \end{split}\]

表象变换#

不管是希尔伯特空间本身的线性性质，还是从矩阵力学的情况来看，一组基矢量都是十分有必要的。就如实空间中, 如果将座标架\((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)变换为\((\vec{i'},\vec{j'},\vec{k'})\)，将对应一个转动，Hilbert空间的变换则要求是一个酉算符 ³ ³\(U^\dagger U = 1\).

这个酉算符应当为：

(3.3)#\[ U=\sum_k\ket{b_k}\bra{a_k} \]

因为这样可以把任意一个基矢量\(\ket{a_k}\)转到\(\ket{b_k}\)去。

转动矩阵的表示#

我们可以知道\(U\)在目前的基中的表示为。

(3.4)#\[ U_{kl} = \braket{a_k|U|a_l} = \braket{a_k|b_l} \]

这里这需要把公式(3.3)带入\(U\)即可。

注意

我们总是考虑在一个基下的各种态或算符。比如我们考虑以\(\ket{a}\)为基(可以称为a表象)，那么此时的态\(\ket{a_1}\)的态矢量就正好是(参见公式(3.2))

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} \end{split}\]

而此时我们显然也可以写出\(U\)在a表象的矩阵。当这个矩阵作用在a表象的态矢量\(\ket{a_1}\)上时，得到的也是在a表象的态矢量\(\ket{b_1}\).

改变表象的操作#

如上所述，假如有一个在a表象的矢量，有在a表象的\(U\)算符，如何得到在b表象的矢量呢？可以从矩阵力学的形式观察，从公式(3.2)可以知道对b表象的列矢量的一个矩阵元应当是：

\[\begin{split} \begin{split} \braket{b_i|c} &= \sum_j \braket{b_i|a_j}\braket{a_j|c} \\ &= \sum_j U_{ji}^*\braket{a_j|c} \end{split} \end{split}\]

上式用到了(3.4)，以完整的矩阵的形式表示则是:

\[ \ket{c}_b = U^\dagger_a \ket{c}_a \]

同样的

\[ X_b = U^\dagger_a X_a U_a \]

迹#

\[ \mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX) \]

\[ \mathrm{tr}(U^\dagger X U) = \mathrm{tr}(X) \]

\[ \mathrm{tr}(\ket{c}\bra{d}) = \braket{c|d} \]