1. 基础记录

单比特

• 可以写成如下形式，bloch球。

\[ \ket{\psi} = \cos\frac{\theta}{2}\ket{0} + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1} \]

• 酉(Unitary)条件

\[ U^\dagger U = I \]

• Z门在态矢上的作用不是很直观：

\[ \mathbf{Z}(a\ket{0}+b\ket{1}) = a\ket{0}-b\ket{1} \]

• 常见的门操作

  • X门 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

  • Y门 \(\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\)

  • Z门 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

  • H门 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

  • S门 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\)

  • T门 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}\)

• 旋转操作通常用e指数来表示：

  \[ R_X(\theta) = e^{i\theta X/2} = \cos\frac{\theta}{2}I-i\sin\frac{\theta}{2}X \]

  • 一定要注意这里的Pauli算符已经在 \(\sin(\cdot)\) 函数之外了！这个化简力度是很大的。

  ¹来自一个花了半天多时间推导这个项的稳定子态的下午...

  • 能这样展开是因为矩阵级数展开以及\(X^2=I\)，对于满足\(A^2=1\)（幂等）的矩阵(比如\(Z\), \(Y\))皆有此特性。也就是说 \(e^{iAx}=\cos(x)A+i\sin(x)A\). 这个结果对多比特也是成立的。尤其是一些 \(e^{i\theta XYZ}\)这种由Pauli项乘出来的项。 ^{1 1}来自一个花了半天多时间推导这个项的稳定子态的下午...

  • 特别的，定义三维旋转，轴为\(\hat{n}=(n_x,n_y,n_z)\)是某个bloch矢量。

\[ R_{\hat{n}}(\theta) = e^{-i\theta\hat{n}\cdot\vec{\sigma}/2} = \cos\frac{\theta}{2}I-i\sin\frac{\theta}{2}(n_xX+n_yY+n_zZ) \]

这里\(\vec{\sigma}=(X,Y,Z)\)是泡利矩阵。

警告

为什么泡利矩阵可以线性相加？

• 任意单比特的酉算子，可以用一个全局相位加一个任意转动构成。

\[ U=e^{i\alpha}R_{\hat{n}}(\theta) \]

• 门的代替：

  • Y门可以用\(SXS^{\dagger}\)表示

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