3.8. 从电子自旋说到Lowdin括号

多电子的角动量耦合

对于一个电子态来说，可以用\(\ket{S, S_z}\)来刻画它现在所在的态，比如自旋向上就是\(\ket{1/2, 1/2}\). 这里\(S\)是\(S^2\)的正平方根。态中的\(\hbar\)被省略了。对于单电子态来说这有点浪费，因为只要一个量子数就够了，不过，对于多电子态来说这是必要的。比方说，对于两个电子的耦合，就能有

1. 单线态

   \[ \ket{0, 0} = \frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}} \]

2. 三线态

   \[\begin{split} \begin{cases} \ket{1, -1} = &\ket{\downarrow\downarrow} \\ \ket{1, 0} = &\frac{\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}} \\ \ket{1, 1} = &\ket{\uparrow\uparrow} \\ \end{cases} \end{split}\]

原因见单线态和三线态.

根据角动量的耦合规则，有\(S'=S\pm1/2\), \(S_z'=S_z+1/2\)