5. 角动量的量子化

角动量体系是从经典物理量做经典-量子对应来的，考虑到空间中的角动量是一个矢量:

\[\begin{split} \begin{split} \mathbf{L} &\equiv \mathbf{r} \times \mathbf{p} \\ &=L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j} + L_z\mathbf{k} \\ &=(yp_x-zp_y)\mathbf{i} + (zp_x-xp_z)\mathbf{j} + (xp_y-yp_x)\mathbf{k} \\ &=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} \end{split} \end{split}\]

对它做量子化，\(\hat{\mathbf{L}}(x\rightarrow x, p_x\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x})\), 解出来的本征函数显然是一个关于\((x, y, z)\)的函数。

要求解\(\hat{\mathbf{L}}\)本征函数，因为\((\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})\)的正交性，实际上就是要求解\(L_x,L_y,L_z\)的本征函数。但是容易发现这三个算符是不互相对易的，所以不存在\(\hat{\mathbf{L}}\)的本征函数族。随之可以发现\(L^2\)和\(L_x,L_y,L_z\)中任意一个是对易的，因此可以求出例如\(L^2, L_z\)的共同本征函数。

小技巧

也就是说，角动量只能同时知道它的模长和一个方向的分量。其他分量则是有一个分布。就像确定能量的态总是一个波函数(即坐标是不确定的，有一个分布)。当有一个态有确定的\(L^2, L_z\)时，它的\(L_x\)和\(L_y\)存在一个分布，没有确定的数值。

解这个方程，可以得到符合这种情况的波函数(被命名为球谐函数(spherical harmonics)或表面谐波(surface harmonics))，这里不细节叙述。这个函数如有界哈密顿量\(\hat{H}\)的本征函数一样是分级的。参考能量的本征函数可以用不同能级标定,以用来展开任意波函数。\(\ket{\psi}=\sum_iC_i\ket{E_i}\)，任意波函数也可以用自旋的级别来展开：

\[ \ket{\psi} = \sum_{J,M} = C_{J,M} \ket{J,M} \]

备注

值得注意的是，球谐函数中仅仅支持整数的自旋。半整数自旋不能由坐标空间给出，但可以通过代数方法给出。

\(\ket{J,M}\)就是这里的本征函数族。其中，\(J\)可以取正的整数或半整数，\(M\)可以在\(J=j\)取定的情况下再在\(M=j, j-1, \cdots, -j\)选取。

对本征函数中的某一个\(\ket{J,M}\), 它的本征值是:

\[ L^2 \ket{J,M} = J(J+1)\hbar\ket{J,M} \]

\[ L_z \ket{J,M} = M\hbar\ket{J,M} \]

对易关系

\[ [L_x, L_y] = i\hbar L_z \]

\[ [L_y, L_z] = i\hbar L_x \]

\[ [L_z, L_x] = i\hbar L_y \]

\[ \{ [L^2, L_\mu] = 0 | \mu=x, y, z \} \]

证明

\[\begin{split} \begin{align} [L^2, L_x] &= [L_x^2, L_x] + [L_y^2, L_x] + [L_z^2, L_x] \\ &= [L_y^2, L_x] + [L_z^2, L_x] \\ &= L_y [L_y, L_x] + [L_y, L_x] L_y + L_z [L_z, L_x] + [L_z, L_x] L_z \\ &= -i\hbar L_y L_z + i\hbar L_z L_y - i\hbar L_z L_y + i\hbar L_y L_z \\ &= 0 \end{align} \end{split}\]

同理可证\(\mu=y,z\).

另外可以定义升降算符，这个以后再写吧。