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对易的两个算符测量先后顺序无关

对于两子系统（Alice和Bob）的量子态 \(\rho\)，若两个测量算符分别作用在不同子系统且对易，则联合概率与测量顺序无关。以下是严格推导：

• Alice先测量：
  联合概率为：

  \[ P(a,b) = \text{Tr}\left[ \underbrace{(I \otimes Q_b)}_{\text{Bob后测}} \cdot \underbrace{(P_a \otimes I) \rho (P_a \otimes I)}_{\text{Alice先测后的态}} \right]. \]

• Bob先测量：
  联合概率为：

  \[ P(b,a) = \text{Tr}\left[ \underbrace{(P_a \otimes I)}_{\text{Alice后测}} \cdot \underbrace{(I \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b)}_{\text{Bob先测后的态}} \right]. \]

由于 \( P_a \otimes I \) 和 \( I \otimes Q_b \) 作用在不同子系统，它们对易，投影算符的乘积可交换：

\[ (I \otimes Q_b)(P_a \otimes I) = (P_a \otimes I)(I \otimes Q_b). \]

利用对易性，联合概率表达式可化简为：

• 对Alice先测量的表达式：

  \[ P(a,b) = \text{Tr}\left[ (I \otimes Q_b)(P_a \otimes I) \rho (P_a \otimes I) \right] = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (P_a \otimes I) \right]. \]

• 对Bob先测量的表达式：

  \[ P(b,a) = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes I)(I \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b) \right] = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b) \right]. \]

由于迹（Trace）的循环性质 \(\text{Tr}[ABC] = \text{Tr}[BCA]\)，进一步化简：

• 对 \(P(a,b)\)：

  \[ P(a,b) = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (P_a \otimes I) \right] = \text{Tr}\left[ \rho (P_a \otimes I)(P_a \otimes Q_b) \right]. \]

• 对 \(P(b,a)\)：

  \[ P(b,a) = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b) \right] = \text{Tr}\left[ \rho (I \otimes Q_b)(P_a \otimes Q_b) \right]. \]

由于 \( (P_a \otimes I)(P_a \otimes Q_b) = P_a \otimes Q_b \) 且 \( (I \otimes Q_b)(P_a \otimes Q_b) = P_a \otimes Q_b \)，两者结果一致：

\[ P(a,b) = P(b,a) = \text{Tr}\left[ \rho (P_a \otimes Q_b) \right]. \]