分子对称性

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2. 分子对称性#

构成分子的原子核的点集可以看成是群的基，任何作用在该点集上的，使作用后和作用前没有任何区别的操作，被称为分子的对称群。

备注

点集就是指坐标点的集合，这里我们只区分元素的种类，不对每一个原子标号。

比如对于水分子来说，我们只区分氢和氧，不区分这两个氢（不然就没有任何有价值的对称操作了）。

对称操作举例#

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图 2.1 水分子的对称性#

如这张图图 2.1中的水分子，它有一个旋转180°的转轴，还有两个反射平面。这个转轴被称为“主轴”，记为"c"，因为它可以经过2次转动回到原点。这个轴便被称作\(c_2\)轴。

  • 如果有额外的旋转轴垂直于主轴，可以记为\(c_n^{(1)}\)

备注

当我们把水分子沿主轴旋转180°时，如果我们把这两个氢气分子标记为\(H_1\), \(H_2\)。实际上这两个氢气分子是对调了位置。

而当我说“通过xx次旋转回到原点”时，我通常指的是所有原子的序号归位。或者说，通过多少次旋转操作会等于一个恒等操作。

平面的反射（或者说“反演”，“反映”）指的都是沿垂直平面的轴的所有坐标a变为-a。例如\(\sigma_{xy}\)就是使得该分子的所有z坐标变为-z。即：

\[ \sigma_{xy}(x,y,z) = (x,y,-z) \]

所有该种平面反射的操作，都用\(\sigma\)来标记。

注意

\(\sigma_h\)指的是垂直于主轴的平面反射，h意为horizental, 一般认为主轴是z轴（只是一种人为的选择，总可以把它转到z轴），这样垂直于主轴就是水平的了。

\(\sigma_v\)指的是通过主轴的平面。

\(\sigma_d\)指通过主轴且垂直于\(c_2^{(1)}\)的平面。

  • 中心反演\(i\):

    \[ i(x, y, z) = (-x, -y, -z) \]

  • 非真转动\(s_n = \sigma_{xy}c_n\)

点群#

点群元素的分类#

  1. 对易群中的任何元素都是一个单独的类

  2. 所有的\(\sigma_v\), 像\(\sigma_v^{(1)}\), \(\sigma_v^{(2)}\)等都是一类，显然它们可以通过主轴的旋转得到，对操作的这类变换就是\(c_n^{-1}\sigma_v c_n\).

  3. 同理，所有垂直于主轴的二重轴是一类。

各种点群#

  1. \(C_n\)群，只包含\(c_n\)操作的群。

  2. \(C_{nv}\)群，\(C_n\)群加上垂直于主轴的对称面。

备注

每当有一个n重对称轴，将会有\(c_n\), \(c_n^2\)等n-1个群元。

如果此时又有一个对称面\(\sigma_v\)时，因为主轴的存在(\(\sigma_v' = c_n^{-1} \sigma_v c_n\))，还将有n个对称面。例如水，就有四个群元{\(E\), \(c_2\), \(\sigma_v\), \(\sigma_v'\)}

那么，对于氨气分子来说，首先知道它有一个三重对称轴\(c_3\)，那么这里构成两个群元\(c_3\), \(c_3^2\)，又可知它有一个对称面，那就一共有三个对称面。因此加上一个平庸的原地不动操作(\(E\))，氨气分子所属的点群就有6个操作\(\{E, c_3, c_3^2, \sigma_v, \sigma_v', \sigma_v''\}\)

在分子中各种点群的种类不胜枚举，请参见WebQC

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