3.2. 算符和对易关系#
产生湮灭算符的反对易关系：
\([a_p^\dagger,a_q^\dagger]_+=a_p^\dagger a_q^\dagger+a_q^\dagger a_p^\dagger=0\)
\([a_p,a_q]_+=0\)
\([a_p^\dagger,a_q]_+=\delta_{pq}\)
占据数算符\(\hat{N}_p=a_p^\dagger a_p\)
\(\hat{N}_p\)是厄密(Hermitian)的，\(\hat{N}_p={\hat{N}_p}^\dagger\)
\(\hat{N}_p\)是幂等(idempotent)的，\(\hat{N}_p={\hat{N}_p}^2\)
对易关系：
\([\hat{N}_p,a_q^\dagger]=\delta_{pq}a_q^\dagger\)
\([\hat{N}_p,a_q]=-\delta_{pq}a_q\)
当有一个串(string) \(\hat{X}\equiv a_p^\dagger a_qa_ra_p\cdots\)，\([\hat{N}_p,\hat{X}]=N_p^X\hat{X}\)，这里\(N_p^X\)是\(\hat{X}\)中p位产生算符的数目减去湮灭算符的数目
粒子数算符\(\hat{N}=\sum_{p=1}^m\hat{N}_p\)，\([\hat{N},\hat{X}]=N^X\hat{X}\)，这里\(N^X\)是\(\hat{X}\)中所有产生算符的数目减去湮灭算符的数目
激发算符\(\hat{X}_q^p=a_p^\dagger a_q\)
正则对易子：
\[ [\hat{r}_\alpha,\hat{p}_\beta]=i\delta_{\alpha\beta}\hat{N} \]此式仅在完备基组下成立，因为非完备基组，算符矩阵元素的乘积不等于乘积的算符矩阵的元素。详见Explicit text
降秩 (Rank Reduction)#
可以利用一些对易关系降低算符的秩，一个升/降算符的秩是\(1/2\).
Jacobi identity