# 碎片化记录

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目前还没做整理 (250125)

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## 对易的两个算符测量先后顺序无关

对于两子系统（Alice和Bob）的量子态 $\rho$，若两个测量算符分别作用在不同子系统且对易，则联合概率与测量顺序无关。以下是严格推导：

- **Alice先测量**：  
  联合概率为：  

  $$
  P(a,b) = \text{Tr}\left[ \underbrace{(I \otimes Q_b)}_{\text{Bob后测}} \cdot \underbrace{(P_a \otimes I) \rho (P_a \otimes I)}_{\text{Alice先测后的态}} \right].
  $$
- **Bob先测量**：  
  联合概率为：  

  $$
  P(b,a) = \text{Tr}\left[ \underbrace{(P_a \otimes I)}_{\text{Alice后测}} \cdot \underbrace{(I \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b)}_{\text{Bob先测后的态}} \right].
  $$


由于 $ P_a \otimes I $ 和 $ I \otimes Q_b $ 作用在不同子系统，它们对易，投影算符的乘积可交换：  

$$
(I \otimes Q_b)(P_a \otimes I) = (P_a \otimes I)(I \otimes Q_b).
$$

利用对易性，联合概率表达式可化简为：
- **对Alice先测量的表达式**：  

  $$
  P(a,b) = \text{Tr}\left[ (I \otimes Q_b)(P_a \otimes I) \rho (P_a \otimes I) \right] = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (P_a \otimes I) \right].
  $$
- **对Bob先测量的表达式**：  

  $$
  P(b,a) = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes I)(I \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b) \right] = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b) \right].
  $$

由于迹（Trace）的循环性质 $\text{Tr}[ABC] = \text{Tr}[BCA]$，进一步化简：
- **对 $P(a,b)$**：  

  $$
  P(a,b) = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (P_a \otimes I) \right] = \text{Tr}\left[ \rho (P_a \otimes I)(P_a \otimes Q_b) \right].
  $$
- **对 $P(b,a)$**：  

  $$
  P(b,a) = \text{Tr}\left[ (P_a \otimes Q_b) \rho (I \otimes Q_b) \right] = \text{Tr}\left[ \rho (I \otimes Q_b)(P_a \otimes Q_b) \right].
  $$
由于 $ (P_a \otimes I)(P_a \otimes Q_b) = P_a \otimes Q_b $ 且 $ (I \otimes Q_b)(P_a \otimes Q_b) = P_a \otimes Q_b $，两者结果一致：

$$
P(a,b) = P(b,a) = \text{Tr}\left[ \rho (P_a \otimes Q_b) \right].
$$