# 概率性错误抵消（PEC）

## 1. 依赖的噪声假设

概率性错误抵消（Probabilistic Error Cancellation，PEC）是一种利用已知噪声模型来抵消量子噪声影响的错误缓解方法。PEC 方法依赖以下噪声假设（参考[噪声的基本假设](../noise/basic.md#21-噪声的基本假设)）：

- **马尔可夫性（Markovianity）**：假设噪声过程是马尔可夫的，即系统的演化仅与当前状态有关，忽略历史影响。

- **局域性（Locality）**：假设噪声是局域的，即当前操作只影响与其相关的量子比特，不会影响其他不相关的量子比特。

- **已知噪声模型（Known Noise Model）**：假设噪声模型是已知的，并且可以被准确地表征。

这些假设使我们可以建立一个可处理的噪声模型，用于分析和抵消噪声对量子计算的影响。

## 2. 理想算符的分解

```{note}
:class: margin

这里要用到[算符的 Pauli 转移矩阵表示](../noise/supervec.md#3-pauli-转移矩阵)
```

在 PEC 方法中，我们的目标是将理想的量子算符 $\mathcal{U}$ 分解为已知的含噪算符 $\{\tilde{\mathcal{U}}_i\}$ 的线性组合。具体地，我们希望找到一组权重 $w_i$，使得：

$$
\mathcal{U}^{\#} = \sum_i w_i \tilde{\mathcal{U}}_i^{\#}
$$

其中，$\tilde{\mathcal{U}}_i^{\#}$ 是在含噪量子设备上可以实现的算符 (这里是PTM(超算符) 形式)。

由于噪声模型已知，我们可以表征含噪算符 $\tilde{\mathcal{U}}_i^{\#}$，并计算对应的权重 $w_i$。

```{attention}
:class: margin

...至于如何得到含噪算符的具体形式，参见[门集层析技术](./gst.md)
```

## 3. 噪声的分类

为了更全面地抵消量子噪声，需要考虑以下几种类型的噪声：

- **制备噪声（Preparation Noise）**：在量子态制备阶段引入的噪声，导致初始态偏离预期的状态。

- **算符噪声（Operation Noise）**：在量子门操作过程中引入的噪声，使得实际执行的算符与理想算符不一致。

- **测量噪声（Measurement Noise）**：在测量过程中引入的噪声，导致测量结果偏离真实的量子态信息。

通过对这些噪声类型的表征，可以构建更加准确的噪声模型，为错误抵消提供基础。

## 4. 通过蒙特卡洛方法获得结果

由于权重 $w_i$ 可能为负值或大于 1，直接实现对应的量子操作在物理上不可行。为了解决这一问题，PEC 采用了基于**准概率分布（Quasi-probability Distribution）** 的蒙特卡洛采样方法。

具体步骤如下：

1. **构建准概率分布**：将权重 $w_i$ 转换为准概率分布 $p_i$，使得：

   $$
   w_i = \eta q_i = \eta \mathrm{sgn}(w_i) p_i
   $$
   
   其中，$\eta$ 是归一化因子，定义为所有权重绝对值之和：
   
   $$
   \eta = \sum_i |w_i|
   $$
   
   准概率分布 $p_i$ 满足：
   
   $$
   \sum_i p_i = 1
   $$
   
   由于 $w_i$ 可能为负值，因此 $q_i$ 可以为负值，即准概率分布允许负概率。
   
2. **基于准概率的采样**：由于不能直接根据负概率进行采样，我们通过引入辅助概率分布 $p_i$，满足归一化条件。

3. **蒙特卡洛采样**：根据概率分布 $p_i$，随机采样含噪算符序列 $\{\tilde{\mathcal{B}}_i\}$。

4. **执行含噪量子电路**：在量子设备上执行采样得到的含噪算符序列，对每个序列进行独立实验。

5. **结果加权与求平均**：对于每次实验的测量结果的期望值 $m_i$，乘以对应的符号 $\text{sgn}(w_i)$，得到加权结果 $\tilde{m}_i$：

$$
\tilde{m}_i = \text{sgn}(w_i) \cdot m_i
$$

然后，对所有实验的加权结果求平均，得到错误抵消后的期望值：

$$
\langle M \rangle_{\text{PEC}} = \frac{1}{N} \eta\sum_{i=1}^{N} \tilde{m}_i
$$

其中，$N$ 是实验次数。

通过增加采样次数 $N$，可以提高结果的精度。由于归一化因子 $\eta$ 可能较大，实现 PEC 需要的实验次数也会相应增加。同时，由于准概率分布的存在，测量结果的方差也会增大，需要更多的采样来达到所需的精度。

## 5. 总结

- **噪声模型依赖**：PEC 的效果高度依赖于噪声模型的准确性，需要高精度的噪声表征。

- **基集规模大**：对于 $n$ 个量子比特的系统，算符空间的维度为 $4^n$，因此基集的规模会随比特数指数增长，增加了计算和实现的复杂度。