# 通过门集层析（GST）获取基础门集

```{tip}
为了准确地表征基础量子门及其噪声特性，我们使用**门集层析（Gate Set Tomography，GST）** 技术。GST 是一种对量子门集进行完整表征的方法，可以提供关于量子门的实际实现形式和噪声特性的详细信息。
```

在 GST 中，我们的目标是测量一组作用在 $n$ 个量子比特上的操作 $\{ \bar{\mathcal{O}}^{\#}_1, \ldots, \bar{\mathcal{O}}^{\#}_N \}$。为此，我们需要选择：

- 一组 $4^n$ 个线性独立的**初始态** $\{ \ket{\bar{\rho}_k\rangle} \}$。
- 一组 $4^n$ 个线性独立的**可观测量** $\{ \bra{\langle\bar{Q}_j} \}$。

给定这些初始态和可观测量，我们测量期望值：

$$
\tilde{\mathcal{O}}_{j,k} = \braket{\langle \bar{Q}_j | \bar{\mathcal{O}}^{\#} | \bar{\rho}_k \rangle}
$$ (gst_ops)

其中，$\bar{\mathcal{O}}$ 是待表征的操作之一。

在理想情况下，我们希望直接测量操作 $\bar{\mathcal{O}}$ 的过程矩阵。然而，由于初态制备和测量过程中的误差，我们实际获得的矩阵 $\tilde{\mathcal{O}}$ 与真实的PTM矩阵 $\bar{\mathcal{O}^{\#}}$ 之间存在如下关系：

$$
\tilde{\mathcal{O}} = \bar{M}^{\mathrm{out}} \bar{\mathcal{O}}^{\#} \bar{M}^{\mathrm{in}}
$$

其中：

- $\bar{M}^{\mathrm{in}}$ 和 $\bar{M}^{\mathrm{out}}$ 是包含初态制备和测量误差的矩阵，定义为：

  $$
  \bar{M}^{\mathrm{in}}_{\sigma, k} = \braket{\langle \sigma | \bar{\rho}_k \rangle}， \quad \bar{M}^{\mathrm{out}}_{j, \sigma} = \braket{\langle \bar{Q}_j | \sigma \rangle}
  $$
  
- $\ket{\sigma\rangle}$ 表示泡利算符基矢量自身的PTM形式. 当然也可以使用多项式展开式{eq}`gst_ops`, 在实际计算时可以根据情况选择。

然而，我们无法直接测量 $\bar{M}^{\mathrm{in}}$ 和 $\bar{M}^{\mathrm{out}}$，因此无法直接从 $\tilde{\mathcal{O}}$ 还原出 $\bar{\mathcal{O}}^{\#}$。

为了解决上述问题，我们采取以下步骤：

1. **测量参考矩阵 $g$**：

   当 $\bar{\mathcal{O}}$ 取为恒等操作（即 $\bar{\mathcal{O}} = I$）时，有：

   $$
   g = \bar{M}^{\mathrm{out}} \bar{M}^{\mathrm{in}}
   $$

   我们可以通过实验测量 $g$。

2. **估计待测操作 $\bar{\mathcal{O}}$**：

   我们引入一个任意可逆矩阵 $T$，构造操作的估计值：

   $$
   \hat{\mathcal{O}} = T g^{-1} \tilde{\mathcal{O}} T^{-1}
   $$

   展开后，可得：

   $$
   \hat{\mathcal{O}} = T \bar{M}^{\mathrm{in}\ -1} \bar{\mathcal{O}} \bar{M}^{\mathrm{in}} T^{-1}
   $$

   由于 $T$ 是任意可逆矩阵，我们可以选择合适的 $T$ 来方便计算。

- **相似性关系**：

  $\hat{\mathcal{O}}$ 与真实操作 $\bar{\mathcal{O}}$ 之间存在相似变换：

  $$
  \hat{\mathcal{O}} \sim \bar{\mathcal{O}}^{\#}。
  $$

  这意味着虽然 $\hat{\mathcal{O}}$ 和 $\bar{\mathcal{O}}^{\#}$ 可能不同，但它们的谱性质相同，且表现出相似的物理特性。

- **初始态和可观测量的估计**：

  通过 $T$ 和 $g$，我们还可以估计初始态和可观测量：

  $$
  \ket{\hat{\rho}_k\rangle} = T_{\bullet,k} = T \bar{M}^{\mathrm{in}\ -1} \ket{\bar{\rho}_k\rangle}
  $$

  $$
  \bra{\langle \hat{Q}_j} = (g T^{-1})_{j,\bullet} = \bra{\langle \bar{Q}_j} \bar{M}^{\mathrm{in}} T^{-1}
  $$

  其中，$T_{\bullet,k}$ 表示矩阵 $T$ 的第 $k$ 列，$(g T^{-1})_{j,\bullet}$ 表示矩阵 $g T^{-1}$ 的第 $j$ 行。

在实际的操作中，我们可以假设制备态的误差很小, 即矩阵$\bar{M}^{\mathrm{in}}$是其理想值，然后令:

$$
T = \bar{M}^{\mathrm{in}}_{\mathrm{ideal}}
$$
这样:

$$
\hat{\mathcal{O}} = T g^{-1} \tilde{\mathcal{O}} T^{-1} = \bar{\mathcal{O}}^{\#}
$$