# 基础记录

## 单比特
- 可以写成如下形式，bloch球。

$$
\ket{\psi} = \cos\frac{\theta}{2}\ket{0} + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1}
$$
- 酉(Unitary)条件

$$
U^\dagger U = I
$$
- Z门在态矢上的作用不是很直观：

$$
\mathbf{Z}(a\ket{0}+b\ket{1}) = a\ket{0}-b\ket{1}
$$
- 常见的门操作
    - X门 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
    - Y门 $\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$
    - Z门 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
    - H门 $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
    - S门 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$
    - T门 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$
- 旋转操作通常用e指数来表示：

	$$
	R_X(\theta) = e^{i\theta X/2} = \cos\frac{\theta}{2}I-i\sin\frac{\theta}{2}X
	$$

    - 一定要注意这里的Pauli算符已经在 $\sin(\cdot)$ 函数之外了！这个化简力度是很大的。

    - 能这样展开是因为矩阵级数展开以及$X^2=I$，对于满足$A^2=1$（幂等）的矩阵(比如$Z$, $Y$)皆有此特性。也就是说 $e^{iAx}=\cos(x)A+i\sin(x)A$. 这个结果对多比特也是成立的。尤其是一些 $e^{i\theta XYZ}$这种由Pauli项乘出来的项。[^1]

    [^1]: 来自一个花了半天多时间推导这个项的稳定子态的下午...
    
    - 特别的，定义三维旋转，轴为$\hat{n}=(n_x,n_y,n_z)$是某个bloch矢量。

$$
R_{\hat{n}}(\theta) = e^{-i\theta\hat{n}\cdot\vec{\sigma}/2} = \cos\frac{\theta}{2}I-i\sin\frac{\theta}{2}(n_xX+n_yY+n_zZ)
$$
这里$\vec{\sigma}=(X,Y,Z)$是泡利矩阵。

```{warning}
为什么泡利矩阵可以线性相加？
```

- 任意单比特的酉算子，可以用一个全局相位加一个任意转动构成。

$$
U=e^{i\alpha}R_{\hat{n}}(\theta)
$$
- 门的代替：
    - Y门可以用$SXS^{\dagger}$表示