# 自旋张量算符

自旋张量算符$\hat{T}^{S,M}$是一族2S+1个算符，因为M可以从-S一直取到S.

自旋张量算符的定义为

$$
[\hat{S}_\pm, \hat{T}^{S,M}] = \sqrt{S(S+1)-M(M\pm 1)}\hat{T}^{S,M\pm 1}
$$
$$
[\hat{S}_z, \hat{T}^{S,M}] = M\hat{T}^{S,M}
$$

两式后半部分的S和M都是常数。

这样定义的$\hat{T}^{S,M}$有:

$$
\hat{S}_\pm\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} = \sqrt{S(S+1)-M(M\pm 1)}\hat{T}^{S,M\pm 1}\ket{\mathrm{vac}}
$$
$$
\hat{S}_z\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} = M\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}}
$$

通过把$\hat{S}^2$表达成$\hat{S}_\pm$和$\hat{S}_z$，可求得：

$$
\hat{S}^2\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}} = S(S+1)\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}}
$$

因此它**在不湮灭真空态**的情况下能构造出给定自旋和分量的态。

当知道了一个$\hat{T}^{S,M}$之后，可求得另一个$\hat{U}^{S,M}=(-1)^{S+M}\left(\hat{T}^{S,-M}\right)^\dagger$. 这里M是为了保证在$\pm1$时仍然保持一致，S是保证在半整数时加起来还是一个整数。也就是说，对给定的S和M，$\hat{T}^{S,M}$仍然不是唯一的。

```{note}
因为$\hat{T}^{S,M}$是通过一个对易关系定义的，我们所希望的是$\hat{T}^{S,M}\ket{\mathrm{vac}}$能给出一个自旋和自旋分量都合适的态，但是实际上通过对易关系定义来的比较宽松。

比如对于单电子体系的$\hat{T}^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=a_\alpha^\dagger$, 也有另一个$\hat{T}^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}=-a_\beta$. 它们都满足对易关系，可以验证。

显然，后一个算符$-a_\beta$会湮灭真空态。
```