# 从电子自旋说到Lowdin括号

## 多电子的角动量耦合

对于一个电子态来说，可以用$\ket{S, S_z}$来刻画它现在所在的态，比如自旋向上就是$\ket{1/2, 1/2}$. 这里$S$是$S^2$的正平方根。态中的$\hbar$被省略了。对于单电子态来说这有点浪费，因为只要一个量子数就够了，不过，对于多电子态来说这是必要的。比方说，对于两个电子的耦合，就能有

1. 单线态

    $$
    \ket{0, 0} = \frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}}
    $$

2. 三线态

    $$
    \begin{cases}
     \ket{1, -1} = &\ket{\downarrow\downarrow} \\
     \ket{1, 0} = &\frac{\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}} \\
     \ket{1, 1} = &\ket{\uparrow\uparrow} \\
    \end{cases}
    $$

原因见[单线态和三线态](./S_T_states.md).

根据角动量的耦合规则，有$S'=S\pm1/2$, $S_z'=S_z+1/2$