# 基础定义

- 二次量子化使用creation和annihilation算符的代数运算代替了Slater行列式，减少了反对称波函数的运算。

- 对于Slater行列式的orbital，$\phi_i$，使用occupation-number vector $\ket{k}=\ket{k_0k_1\cdots k_i\cdots k_n}$代替。这里$k_i$指的是在$\ket{k}$的第i位上是0还是1，也即是$k_i\in \{0,1\}$，这个ON-vector所在的空间叫做Fock Space

- 正交：$\braket{k|m} =\delta_{\ket{k},\ket{m}}=\prod\delta_{k_i,m_i}$，

- 归一化：$1=\sum_{\ket{k}}\ket{k}\bra{k}$，加和所有维度的$\ket{k}$ ==这个定义不知道有什么用==

- 记m维的Fock Space为$F(m)$，对$F(m)$中恰好有n个电子占据的子空间记作$F(m,n)$，有如下等式：

  $$
  F(m) = F(m,0)\oplus F(m,1)\oplus\cdots\oplus F(m,m)
  $$

- 真空态：$\ket{\mathrm{vac}}=\ket{000\cdots}$，$\braket{\mathrm{vac}|\mathrm{vac}}=1$

- 产生算符：

  $$
  a_p^\dagger\ket{k_1k_2\cdots 0_p\cdots k_m}=\Gamma_p^k\ket{k_1k_2\cdots 1_p\cdots k_m}
  $$

  $$
  a_p^\dagger\ket{k_1k_2\cdots 1_p\cdots k_m}=0
  $$

  $$
  \Gamma_p^k=\prod_{q=1}^{p-1}(-1)^{k_q}
  $$

  $\Gamma$统计了p前面有多少个被占据的电子。
  
- 湮灭算符：

  $$
  a_p\ket{k}=\delta_{k_p,1}\Gamma_p^k\ket{k_1k_2\cdots 0_p\cdots k_m}
  $$

  湮灭真空态会得到0
  
- 使用产生算符表示一个ON-vec

  $$
  \ket{k} = \left[ \prod_{p=1}^m(a_p^\dagger)^{k_p} \right]\ket{\mathrm{vac}}
  $$