# 电子自旋

## 单个电子的自旋态

电子自旋，是电子的一种内禀的量子性质。电子的自旋态，通常作为一个额外的态矢量乘在空间函数的末尾。如$\ket{\psi}\ket{s}$这里$\ket{\psi}$是一个空间上的态函数，而$\ket{s}$则是自旋性质的态函数。它们**彼此独立**，所以可以直接相乘，构成一个更大的态空间里的矢量。

对于一个电子的自旋态$\ket{s}$，可以用一个二分量的基$\ket{\uparrow}$和$\ket{\downarrow}$来描述，称为“自旋向上”或“自旋向下”。电子的自旋态空间，仅仅使用这两个基矢量加上复系数就可以完整定义。可以使用[Bloch球](../量子计算/bloch_sphere.md)的概念来理解单电子的状态。

尽管在Bloch球中，对态的操作很方便，但真实的物理世界中，自旋并不能视为在一个Bloch球中的矢量。
经典物理里，自旋是一种角动量，角动量是真实物理空间中叉乘出来的一个矢量($\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$)，通过这种经典-量子对应，现在自旋成了Bloch球中的**一组**分立的矢量，而量子的角动量**沿某一个方向的值$S_z$**，在经典物理中是一个确定值。也就是说，经典的自旋只要确定了这角动量的矢量，一切都确定了。而量子世界的电子自旋，除了要确定角动量的矢量($\mathbf{S}$)外，还要确定其在某一方向上的分量($S_z$)，才能唯一的确定一个态。而且，实际的应用中我们最终选用的是角动量矢量的平方(或称为自旋的平方$S^2$)，因为角动量矢量有以下两条性质:

1. 不能够直接测量。在[Bloch球](../量子计算/bloch_sphere.md)里定义的$\vec{\sigma} = \mathbf{i}\sigma_x + \mathbf{j}\sigma_y + \mathbf{k}\sigma_z$需要同时测量三个不对易方向的分量。

2. $S^2$能和$S_z$或其它方向对易，因此能有公共的一组波函数，能唯一确定系统的态。

经典的角动量有它的叠加关系，是两个矢量的相加。但是量子的自旋则成了两个算符的相加。硬要说的话，是两个布洛赫球的**耦合**。

如下表：

||经典角动量|量子角动量|
|:---:|:---:|:---:|
|角动量的平方| J矢量的平方 | 平方算符的期望值 |
|角动量| J矢量 | Bloch球的多个矢量 |
|角动量沿某一方向的分量| Jz | 球上的某一个矢量 |

```{hint}
如果想要将角动量加和，经典的角动量直接把三个分量加起来就行了，而量子的角动量是一个球上的多个分立值，无法相加。所以，只需要理解为这是一种经典-量子的对应关系，而对于它的运算结果，要放弃用某种经典图像来刻画。因此，再次重申，只需记住自旋的算符的来源，是量子-经典对应。而结果就站在态空间和算符的操作中去计算即可，不要试图扩大Bloch球的定义，它只能代表一个电子或比特位的态。也不要用经典的角动量矢量去试图理解它。一切经典的东西已经成为量子态的指标(通常被称为量子数)，只有这些态和算符告诉我们会算出什么。

从某种意义上来说，我们对**量子的诠释**一直是不够的。我们有的仅仅是**计算量子力学**。
```

## 角动量的平方算符

在[Bloch球](../量子计算/bloch_sphere.md)中我们已经对Pauli算符等多个算符有了定义，自旋算符与它们几乎没有差别，只是为了满足实验上在磁场中测量出的结果，加上了一些常数。有：

$$
S_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z
$$

$$
\mathbf{S} = \frac{\hbar}{2}\mathbf{\sigma}
$$

以及额外定义的：

$$
S^2 = \mathbf{S}^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2
$$

对单电子来说：

$$
S_z\ket{0} = \frac{\hbar}{2}\ket{0}
$$

$$
S^2\ket{0} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\hbar\ket{0}=\frac{3}{4}\hbar^2\ket{0}
$$

在这里，读者可能会觉得$S^2$的定义有些草率，其实并非如此。这个定义也是遵循经典-量子对应中对角动量平方的定义，替换了坐标和动量算符来的。反而，其实令人惊奇的点是，单电子的角动量算符$\vec{S}$会给出半径为$\hbar/2$的一个Bloch球，这是非常奇妙的。

```{hint}
这一节和[Bloch球](../量子计算/bloch_sphere.md)一节有着非常紧密的联系.
```