# 矩阵力学基础形式

用矩阵表示算符的作用会相当方便，因此，较为细致的检查矩阵元，矩阵乘法和态矢量的关系是有必要的。

## 矩阵表示

以下考虑均在算符$A$的本征基$\ket{a_i}$下展开右矢空间。

### 算符

对一个任意算符$X$，插入两个单位1:

$$
X = \sum_i\sum_j \ket{a_i}\bra{a_i}X\ket{a_j}\bra{a_j}
$$

规定其中$\braket{a_i|X|a_j}$构成一个矩阵的矩阵元(这是一个实数)。其中$i$是行的下标，$j$是列的下标。也就是说：

$$
X^{\mathrm{mat}}_{ij} = \braket{a_i|X^{\mathrm{sv}}|a_j} 
$$ (operator-mat-element)

其中上标为mat的代表矩阵形式下的表示，上标为sv的代表态矢(state vector)空间的表示(即为一个函数)[^sn1]. 完整的有：

$$
X \Longrightarrow \begin{pmatrix}
\braket{a_1|X|a_1} & \braket{a_1|X|a_2} & \cdots \\
\braket{a_2|X|a_1} & \braket{a_2|X|a_2} & \vdots \\
\vdots & \cdots & \ddots
\end{pmatrix}
$$

由公式{eq}`hermitian-of-ops`可以知道:

$$
X^\dagger = \sum_i\sum_j \ket{a_j}\bra{a_j}X^\dagger\ket{a_i}\bra{a_i}
$$

上式左边是矩阵，右边是函数。对比公式{eq}`operator-mat-element`的矩阵元, 可以注意到$X$的$(i,j)$的对应的正好是$X^\dagger$的指标$(j,i)$的复共轭[^sn3]

$$
X^*_{ij} = X^\dagger_{ji}  
$$

或者

$$
X^{T*} = X^\dagger
$$

因此，在**矩阵形式**下，**厄密共轭表现为转置复共轭**.

对乘法来说:

$$
\begin{split}
Z &= XY \\
&\Downarrow \\
\braket{a_i|Z|a_j} &= \braket{a_i|XY|a_j} \\
&= \sum_k \braket{a_i|X|a_k}\braket{a_k|Y|a_j}
\end{split}
$$

正好是列乘以行$Z_{ij}=\sum_kX_{ik}Y_{kj}$，符合矩阵的乘法。

### 态矢量

可以直接看出如果用如下列向量表示一个任意态$\ket{c}$:

$$
\ket{c} \Longrightarrow \begin{pmatrix}
\braket{a_1|c} \\
\braket{a_2|c} \\
\vdots \end{pmatrix}
$$ (vec-in-matmech)

这里左边是右矢表示，右边是一个复数矩阵。因此也有:

$$
\bra{c} = \ket{c}^\dagger \Longrightarrow \begin{pmatrix}
\braket{a_1|c}^* &
\braket{a_2|c}^* &
\cdots \end{pmatrix}
$$ 

它们满足$\braket{c|d}$或$\braket{c|X|d}$这类乘法的结果。

另外可以定义张积:

$$
\ket{c}\bra{d} = \begin{pmatrix}
\braket{a_1|c}\braket{a_1|d}^* & \braket{a_1|c}\braket{a_2|d}^* & \cdots \\
\braket{a_2|c}\braket{a_1|d}^* & \braket{a_2|c}\braket{a_2|d}^* & \vdots \\
\vdots & \cdots & \ddots
\end{pmatrix}
$$

## 表象变换

不管是希尔伯特空间本身的线性性质，还是从矩阵力学的情况来看，一组基矢量都是十分有必要的。就如实空间中, 如果将座标架$(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$变换为$(\vec{i'},\vec{j'},\vec{k'})$，将对应一个转动，Hilbert空间的变换则要求是一个酉算符[^sn2].

这个酉算符应当为：

$$
U=\sum_k\ket{b_k}\bra{a_k}
$$ (pic-change-unitary)

因为这样可以把任意一个基矢量$\ket{a_k}$转到$\ket{b_k}$去。

### 转动矩阵的表示

我们可以知道$U$在目前的基中的表示为。

$$
U_{kl} = \braket{a_k|U|a_l} = \braket{a_k|b_l}
$$ (pic-change-u-mat)

这里这需要把公式{eq}`pic-change-unitary`带入$U$即可。

```{attention}

我们总是考虑在一个基下的各种态或算符。比如我们考虑以$\ket{a}$为基(可以称为**a表象**)，那么此时的态$\ket{a_1}$的态矢量就正好是(参见公式{eq}`vec-in-matmech`)

$$
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\vdots
\end{pmatrix}
$$

而此时我们显然也可以写出$U$在a表象的矩阵。当这个矩阵作用在a表象的态矢量$\ket{a_1}$上时，得到的也是在a表象的态矢量$\ket{b_1}$. 

```

### 改变表象的操作

如上所述，假如有一个在a表象的矢量，有在a表象的$U$算符，如何得到在b表象的矢量呢？可以从矩阵力学的形式观察，从公式{eq}`vec-in-matmech`可以知道对b表象的列矢量的一个矩阵元应当是：

$$
\begin{split}
\braket{b_i|c} &= \sum_j \braket{b_i|a_j}\braket{a_j|c} \\
&= \sum_j U_{ji}^*\braket{a_j|c}
\end{split}
$$

上式用到了{eq}`pic-change-u-mat`，以完整的矩阵的形式表示则是:

$$
\ket{c}_b = U^\dagger_a \ket{c}_a
$$

同样的

$$
X_b = U^\dagger_a X_a U_a
$$

## 迹

$$
\mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX)
$$

$$
\mathrm{tr}(U^\dagger X U) = \mathrm{tr}(X)
$$

$$
\mathrm{tr}(\ket{c}\bra{d}) = \braket{c|d}
$$

<!-- 以下是margin note -->

[^sn2]: $U^\dagger U = 1$

[^sn1]: 矩阵表示的矩阵元其实是原算符的积分，而态矢形式保留了函数性。矩阵形式是依赖于基的(有点像二次量子化，但没有单电子概念)。

[^sn3]: 参见公式{eq}`hermitian-of-inner-prod`