# 角动量的量子化

角动量体系是从经典物理量做经典-量子对应来的，考虑到空间中的角动量是一个矢量:

$$
\begin{split}
\mathbf{L} &\equiv \mathbf{r} \times \mathbf{p} \\
&=L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j} + L_z\mathbf{k} \\
&=(yp_x-zp_y)\mathbf{i} + (zp_x-xp_z)\mathbf{j} + (xp_y-yp_x)\mathbf{k} \\
&=\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x & y & z \\
p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}
\end{split}
$$

对它做量子化，$\hat{\mathbf{L}}(x\rightarrow x, p_x\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x})$, 解出来的本征函数显然是一个关于$(x, y, z)$的函数。

要求解$\hat{\mathbf{L}}$本征函数，因为$(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$的正交性，实际上就是要求解$L_x,L_y,L_z$的本征函数。但是容易发现这三个算符是不互相对易的，所以不存在$\hat{\mathbf{L}}$的本征函数族。随之可以发现$L^2$和$L_x,L_y,L_z$中任意一个是对易的，因此可以求出例如$L^2, L_z$的共同本征函数。

```{tip}
也就是说，角动量只能同时知道它的模长和一个方向的分量。其他分量则是有一个分布。就像确定能量的态总是一个波函数(即坐标是不确定的，有一个分布)。当有一个态有确定的$L^2, L_z$时，它的$L_x$和$L_y$存在一个分布，没有确定的数值。
```

解这个方程，可以得到符合这种情况的波函数(被命名为**球谐函数**(spherical harmonics)或表面谐波(surface harmonics))，这里不细节叙述。这个函数如**有界**哈密顿量$\hat{H}$的本征函数一样是分级的。参考能量的本征函数可以用不同能级标定,以用来展开任意波函数。$\ket{\psi}=\sum_iC_i\ket{E_i}$，任意波函数也可以用自旋的级别来展开：

$$
\ket{\psi} = \sum_{J,M} = C_{J,M} \ket{J,M}
$$

```{note}
:class: margin
值得注意的是，球谐函数中仅仅支持整数的自旋。半整数自旋不能由坐标空间给出，但可以通过代数方法给出。
```

$\ket{J,M}$就是这里的本征函数族。其中，$J$可以取正的整数或半整数，$M$可以在$J=j$取定的情况下再在$M=j, j-1, \cdots, -j$选取。

对本征函数中的某一个$\ket{J,M}$, 它的本征值是:

$$
L^2 \ket{J,M} = J(J+1)\hbar\ket{J,M}
$$

$$
L_z \ket{J,M} = M\hbar\ket{J,M}
$$

## 对易关系

$$
[L_x, L_y] = i\hbar L_z
$$

$$
[L_y, L_z] = i\hbar L_x
$$

$$
[L_z, L_x] = i\hbar L_y
$$

$$
\{ [L^2, L_\mu] = 0 | \mu=x, y, z \}
$$

```{card} 证明
$$
\begin{align}
[L^2, L_x] &=
[L_x^2, L_x] + [L_y^2, L_x] + [L_z^2, L_x] \\ &=
[L_y^2, L_x] + [L_z^2, L_x] \\ &=
L_y [L_y, L_x] + [L_y, L_x] L_y + L_z [L_z, L_x] + [L_z, L_x] L_z \\ &=
-i\hbar L_y L_z + i\hbar L_z L_y - i\hbar L_z L_y + i\hbar L_y L_z \\ &=
0
\end{align} 
$$
同理可证$\mu=y,z$.
```

另外可以定义升降算符，这个以后再写吧。