# 希尔伯特空间

## 右矢(ket)

希尔伯特空间(Hilbert Space)是通过内积定义的空间，其空间的元素为一个态，它是一个线性空间，即空间的元素可以由一组基线性展开

$$
\ket{\alpha} = \sum_i c_i\ket{a_i}
$$

这里的展开系数是复的。这种展开也是一种矢量性质，因此我们有时称这样一个态为**右矢**。

## 左矢(bra)

右矢有其对应，称为左矢。右矢空间相应有对应的左矢空间。

$$
\ket{a} \leftrightarrow \bra{a}
$$

值得注意的是，常数在对偶时将变为复共轭！

$$
c \leftrightarrow c^*
$$

因此有

$$
c\ket{a} \leftrightarrow c^*\bra{a}
$$

## 内积

左矢和右矢的乘积为一个复数[^1]

$$
\braket{a|b} \in \mathbb{C}
$$

这样可以知道

$$
\braket{a|b} \leftrightarrow \braket{b|a}
$$

就有

$$
\braket{a|b} = \braket{b|a}^*
$$ (hermitian-of-inner-prod)

[^1]: 量子力学遵循“正定度规”，即$\braket{a|a}\ge0$. 当然也有不定度规的理论，这里就不涉及了。

## 算符

算符从左侧作用在右矢上，它的对偶是算符的**厄密共轭算符**乘在左矢上。

$$
X\ket{a} \leftrightarrow \bra{a}X^\dagger
$$ (hermitian-of-ops)

算符乘积的厄密共轭要交换顺序[^2]

$$
(XY)^\dagger = Y^\dagger X^\dagger
$$

[^2]: 实际上厄密共轭就是对偶操作。我们把这里的对偶定义扩大了一点，原来的对偶大概是指两个矢量空间一一对应，而算符(和常数)其实可以分别从左右作用在矢量上。因此不属于哪个特定的空间，它“对偶”之后还是一个算符。总之，对偶是指一一对应的关系，而共轭是这种对应具体的数学表示。比如也可以写成$(\ket{a})^\dagger=\bra{a}$.