# 分子对称性

构成分子的原子核的**点集**可以看成是群的基，任何作用在该点集上的，使作用后和作用前没有任何区别的操作，被称为分子的**对称群**。

```{note}
点集就是指坐标点的集合，这里我们只区分元素的种类，不对每一个原子标号。

比如对于水分子来说，我们只区分氢和氧，不区分这两个氢（不然就没有任何有价值的对称操作了）。
```

## 对称操作举例

<!-- ![water_symm](pics/water_symm.png){w=200px} -->

```{figure} pics/water_symm.png
---
figclass: margin
name: myfig1
---
水分子的对称性
```

如这张图{numref}`myfig1`中的水分子，它有一个旋转180°的转轴，还有两个反射平面。这个转轴被称为“主轴”，记为"c"，因为它可以经过2次转动回到原点。这个轴便被称作$c_2$轴。

- 如果有额外的旋转轴垂直于主轴，可以记为$c_n^{(1)}$

```{note}
当我们把水分子沿主轴旋转180°时，如果我们把这两个氢气分子标记为$H_1$, $H_2$。实际上这两个氢气分子是对调了位置。

而当我说“通过xx次旋转回到原点”时，我通常指的是所有原子的序号归位。或者说，通过多少次旋转操作会等于一个恒等操作。
```

平面的反射（或者说“反演”，“反映”）指的都是沿垂直平面的轴的所有坐标a变为-a。例如$\sigma_{xy}$就是使得该分子的所有z坐标变为-z。即：

$$
\sigma_{xy}(x,y,z) = (x,y,-z)
$$

所有该种平面反射的操作，都用$\sigma$来标记。

```{attention}
$\sigma_h$指的是垂直于主轴的平面反射，h意为horizental, 一般认为主轴是z轴（只是一种人为的选择，总可以把它转到z轴），这样垂直于主轴就是水平的了。

$\sigma_v$指的是通过主轴的平面。

$\sigma_d$指通过主轴且垂直于$c_2^{(1)}$的平面。
```

- 中心反演$i$:

  $$
  i(x, y, z) = (-x, -y, -z)
  $$
- 非真转动$s_n = \sigma_{xy}c_n$

## 点群

### 点群元素的分类

1. 对易群中的任何元素都是一个单独的类
2. 所有的$\sigma_v$, 像$\sigma_v^{(1)}$, $\sigma_v^{(2)}$等都是一类，显然它们可以通过主轴的旋转得到，对操作的这类变换就是$c_n^{-1}\sigma_v c_n$.
3. 同理，所有垂直于主轴的二重轴是一类。

### 各种点群

1. $C_n$群，只包含$c_n$操作的群。
2. $C_{nv}$群，$C_n$群加上垂直于主轴的对称面。
  ```{note}
  每当有一个n重对称轴，将会有$c_n$, $c_n^2$等n-1个群元。
  
  如果此时又有一个对称面$\sigma_v$时，因为主轴的存在($\sigma_v' = c_n^{-1} \sigma_v c_n$)，还将有n个对称面。例如水，就有四个群元{$E$, $c_2$, $\sigma_v$, $\sigma_v'$}

  那么，对于氨气分子来说，首先知道它有一个三重对称轴$c_3$，那么这里构成两个群元$c_3$, $c_3^2$，又可知它有一个对称面，那就一共有三个对称面。因此加上一个平庸的原地不动操作($E$)，氨气分子所属的点群就有6个操作$\{E, c_3, c_3^2, \sigma_v, \sigma_v', \sigma_v''\}$
  ```

在分子中各种点群的种类不胜枚举，请参见[WebQC](https://zh.webqc.org/symmetry.php)