# 定义
离散群通常由若干个元素以及它们之间的运算（一般就叫乘法）所定义。

一个群有以下的性质：
- 封闭性： 群元的运算必然还是群元
- 结合律： $A(BC) = (AB)C$
- 存在一个恒等元素： $E$
  
  $$
  EA = AE = A
  $$
- 每一个元素必有其逆元素
- 有限群的群元个数称为它的“阶”
- 群的乘法通常是不可交换顺序的，可交换顺序的被称为阿贝尔群。

## 子群
- 对一个群($G$)自身来说，恒等运算($E$)和它自身($G$)是它的平凡子群。
- 对于一个群的子群来说($H\subset G$), 子群的阶必然是该群的阶的整除数(`type(g/h)==int`{l=python})

## 类 
- 对于符合以下关系的群元素A, B：

  $$
  \begin{split}
  A &= X^{-1}BX \\
  B &= Y^{-1}AY
  \end{split}
  $$
  其中 A, B, X, Y都是群的元素。称A与B是[**共轭元素**]{#共轭元素}。
- 一个群里的所有共轭元素被称为一个类

## 同构

对两个群$G = \{A, B, C, \cdot\}$, $G' = \{A', B', C', \cdots\}$, 有：

$$
A \Leftrightarrow A' \\
B \Leftrightarrow B'
$$
使得:

$$
AB \Leftrightarrow A'B'
$$
则称这两个群是同构的。

## 同态
如果同构群的$A'$和$B'$实际上是同一个群元，则称它们是同态的。

## 特征标
群元的矩阵表示的迹。

$$
\chi = \sum_j a_{jj}
$$
- 若$C=AB$, $D=BA$, 则$\chi_C=\chi_D$
- [共轭元素](#共轭元素)的特征标相等

```{note}
或说同一类中的元素特征标相等
```