# Kohn-Sham Equation

有了HK定理之后，我们发现**可以用变分法来求解多电子密度问题**。然而，原电子哈密顿量中的动能项和相互作用项无法从多电子波函数积分为电子密度。

例如:

$$
\braket{\nabla^2}_\Psi = E_t[n(r)]
$$

中$E_t$是不太可能写出来的，所以必须对多电子波函数的形式做一约束。例如Slater形式，或单纯单电子波函数的乘积形式($\Psi = \sum_i\psi_i$)。例如对于动能项，

$$
\begin{split}
\braket{\nabla^2}_\Psi &=
\sum_i^n \int \psi_1^*(r_1)\cdots\psi_n^*(r_n) \nabla_i^2 \psi_1(r_1)\cdots\psi_n(r_n) dr_1\cdots dr_n \\ &=
\sum_i^n \int \psi_i^*(r_i) \nabla_i^2 \psi_i(r_i) dr_i
\end{split}
$$

这里虽然用的是简单的乘积形式，不过考虑交换次序的Slater行列式并不会改变结果。可以参见.

不过，电子的关联能是很重要的