# 非正交化基组 (Non-orthogonal Basis)

非正交化基组的重叠矩阵(overlap matrix)

$$
S_{pq}=\braket{p|q}
$$

非正交化基组的内积

$$
\braket{k|m}=\delta_{N_kN_m}\cdot \mathrm{det}(\mathbf{S}^{km})
$$

$\delta$函数保证了两个ON矢量的电子数是一样的。后面$\mathrm{det}(\mathbf{S}^{km})$是占据的轨道形成的S方阵的行列式。

## 产生湮灭算符

$$
a_p\ket{\mathrm{vac}} = 0
$$

$$
a_p\ket{k} = \sum_{q=1}^nk_q\Gamma_q^kS_{pq}\ket{k_1,\cdots,0_q,\cdots,k_n}
$$

这里使用的标记和正交基组一样。

$$
a_p^\dagger\ket{k} = (1-k_p)\Gamma_p^k S_{pq}\ket{k_1,\cdots,1_p,\cdots,k_n}
$$

## 对易关系

$$
[a_p, a_q]_+ = 0
$$

$$
[a_p^\dagger, a_q]_+ = S_{qp}
$$
注意这里S的指标

## 单双电子算符

$$
\hat{f} = \sum_{pq} [\mathbf{S^{-1}fS^{-1}}]_{pq}a_p^\dagger a_q
$$
这里$\mathbf{f}$是在非正交基组下的积分矩阵。


$$
\hat{g} = \frac{1}{2} \sum_{pqrsijkl} 
    \mathbf{
        S^{-1}_{pi} S^{-1}_{jq} S^{-1}_{rk} S^{-1}_{ls}
    } a_p^\dagger a_r^\dagger a_s a_q
$$

可以看出，都需要在原有的轨道积分上加上S的修饰。