# Restricted & Unrestricted HF

首先，Restricted Slater Determinant就是用相同的spatial orbital构成spin orbitals.
空间部分$\{\phi_i\}$, spin orbitals $\{\phi_i\uparrow, \phi_i\downarrow\}$，
而Un-restricted Slater Determinant是用不同的spatial orbital构成spin orbitals. $\{\phi_i^a\uparrow, \phi^b_i\downarrow\}$
这两个spatial orbital各自是正交的：

$$
\left<\phi_i^a|\phi_j^a\right>=\left<\phi_i^b|\phi_j^b\right>=\delta_{ij}
$$
但是彼此之间不正交：

$$
\left<\phi_i^a|\phi_j^b\right>=S_{ij}^{ab}
$$
这个四阶的overlap matrix似乎和很多Un-restricted Slater Determinant的性质是有关的（废话
unrestricted Slater是`更高阶`{.warning}S, D, Triplet的组合。

## Spin adapted

让determinants组合成$\hat{S}^2$的本征值，在这种情况下可以减少SCF运算的过程。
这里要多说一些$\hat{S}^2$的定义，这是整个系统的总自旋，要从整个系统的升降算符（使某个电子向上）和$\hat{S}_z$开始。

$$
\begin{split}
&\hat{s}_\pm=\hat{s}_x\pm i\hat{s}_y \\
&\hat{s}_+\left|\uparrow\right>=0 \\
&\hat{s}_+\left|\downarrow\right>=\left|\uparrow\right> \\
&\hat{s}_-\left|\downarrow\right>=0 \\
&\hat{s}_-\left|\uparrow\right>=\left|\downarrow\right> \\
&\hat{S}_z=\sum_i\hat{s}_z(i) \\
&\hat{S}_\pm=\sum_i\hat{s}_\pm(i) \\
&\hat{S}^2=\hat{S}_-\hat{S}_++\hat{S}_z+\hat{S}_z^2
\end{split}
$$

它的eigenfunctions，又叫单线态(Singlet)，双线态(Doublet)，三线态(Triplet)等等，Restricted Slater和Unrestricted Slater的不是S, D, Triplet的行列式，也可以通过组合获得S, D, Triplet。