# 轨道积分

## 交换积分和交换关联

$$
K_{ij}=(ij|ji)=\left<ij|ji\right> 
$$

显然这只在同自旋的电子之间出现。

### 使用交换积分的表达方法

```{hint}
注意，这里的积分都是在spatial orbital下的，所以表述上要提自旋。
```
单电子积分，无论顺自旋还是反自旋。

$$
\left<i|h|i\right>=h_{ii}
$$
也就是说，如果有两个电子在i态（$\uparrow$,$\downarrow$），那贡献的单电子能量应该是$2h_{ii}$
spatial orbital在i，j态，反自旋的双电子积分

$$
\left<ij||ij\right>=J_{ij}
$$
只提供库伦积分。
顺自旋的双电子积分

$$
\left<ij||ij\right>=J_{ij}-K_{ij}
$$
会提供一项交换积分。
这样，在具体做的时候，可以先积分这些量，再获得能量。避免重复运算。